EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SUCESOS SIMULTÁNEOS EN JUEGOS DE AZAR.

Comprensión de los Sucesos Mutuamente Excluyentes y los Sucesos Simultáneos:

En muchos juegos de azar a veces un jugador puede estar interesado en calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos diferentes frente a una misma jugada, caso en el cual es necesario determinar previamente si los eventos analizados son «Sucesos Mutuamente Excluyentes», es decir, si son sucesos que no pueden ocurrir a la vez en una misma jugada porque la ocurrencia de alguno de ellos excluye la ocurrencia de otros, o si son «Sucesos Simultáneos», es decir, si son sucesos que pueden presentarse a la vez en una misma jugada.

De este modo, si se considera que A es un evento y que B es otro evento totalmente diferente, y ambos son mutuamente excluyentes entre sí, entonces la probabilidad de que cualquiera de los dos pueda ocurrir en una misma jugada excluyendo la ocurrencia del otro se expresa como P(A,B), que se lee como «la probabilidad de que A o B ocurran en un solo ensayo», fórmula que se resuelve mediante una simple sumatoria entre las probabilidades individuales de ocurrencia de cada evento analizado: P(A,B) = P(A)+P(B).

Y si se considera que A es un evento y que B otro evento diferente, y ambos son sucesos que pueden ocurrir de forma simultánea en una misma jugada, entonces en este caso la probabilidad de que en un solo ensayo pueda ocurrir cualquiera de los dos eventos o producirse la intersección entre ambos eventos se expresa como P(A,B)−P(AB), que se lee como «la probabilidad de que A y B ocurran por separado o conjuntamente en un solo ensayo», fórmula en la cual el símbolo matemático de la intersección (∩) indica que los eventos tienen una «probabilidad compuesta» y que por eso a la sumatoria de las probabilidades individuales de ambos eventos hay que restarles la probabilidad de ocurrencia de las intersecciones que se pueden formar entre los términos que ambos eventos tienen en común, lo cual se expresa mediante la siguiente fórmula: P(A,B)−P(AB) = P(A)+P(B)−P(AB).

Cálculo de la Probabilidad de Sucesos Mutuamente Excluyentes:

Veamos algunos ejemplos simples del cálculo de la probabilidad frente a eventos mutuamente excluyentes. Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado). Por consiguiente, si el jugador quiere calcular la probabilidad de ganar en el lanzamiento del dado puede asumir que el evento A es la aparición del punto 1 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, mientras que el evento B es la aparición del punto 6 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, y por lo tanto la probabilidad de ganar se calcula mediante la sumatoria ya indicada: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos posibles:

En otro ejemplo, supongamos que un mazo normal de 52 cartas es mezclado y que un jugador puede ganar un premio si en la primera carta extraída del mazo aparece un as (A) o un rey (K), caso en el cual ambos sucesos también son mutuamente excluyentes entre sí porque la carta extraída o tiene un valor o tiene el otro pero no puede tenerlos ambos. En consecuencia, si se asume que el evento A es la extracción de cualquier as (A) con una probabilidad de ocurrencia de 4/52, y el evento B es la extracción de cualquier rey (K) que tiene una probabilidad de ocurrencia de 4/52, entonces la probabilidad de ganar obteniendo un as o un rey en un solo ensayo es de: P(A,B) = P(A)+P(B) = 4/52+4/52 = 8/52, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar tiene 8 eventos favorables (cuatro ases y cuatro reyes) sobre 52 cartas disponibles en el mazo.

Valores de la probabilidad en el Craps.

Y si ahora consideramos casos en los que la cantidad de sucesos mutuamente excluyentes es mayor, también se aplica la misma fórmula ya comentada que se resuelve mediante una sumatoria de las probabilidades de ocurrencia de cada evento. Por ejemplo, si un jugador apuesta en la casilla «Field» de la mesa de craps, entonces puede ganar el premio si en el lanzamiento de los dos dados la sumatoria de los puntos de ambos dados es 2 ó 3 ó 4 ó 9 ó 10 ó 11 ó 12, resultados que son mutuamente excluyentes entre sí porque los dos dados en un solo lanzamiento sólo suman un valor determinado y no suman dos o más valores a la vez. Si identificamos a los siete resultados de los dos dados que favorecen al jugador (2, 3, 4, 9, 10, 11, 12) con una letra específica respectivamente (A, B, C, D, E, F, G), entonces la probabilidad de ganar por apostarle a la casilla Field de la mesa de craps se calcula como P(A,B,C,D,E,F,G). En este caso hay que tener en cuenta que la probabilidad de obtener un puntaje 2 en los dos dados es 1/36 (evento A), la probabilidad de obtener un puntaje 3 en los dos dados es de 2/36 (evento B), la probabilidad de obtener un puntaje 4 en los dos dados es de 3/36 (evento C), la probabilidad de obtener un puntaje 9 en los dos dados es de 4/36 (evento D), la probabilidad de obtener un puntaje 10 en los dos dados es de 3/36 (evento E), la probabilidad de obtener un puntaje 11 en los dos dados es de 2/36 (evento F), y la probabilidad de obtener un puntaje 12 en los dos dados es de 1/36 (evento G), por tanto la solución es la siguiente: P(A,B,C,D,E,F,G) = P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)+P(F)+P(G) = 1/36+2/36+3/36+4/36+3/36+2/36+1/36 = 16/36, o lo que es lo mismo, el jugador al apostarle a la casilla Field en la mesa de craps tiene a su favor 16 combinaciones entre los puntos de los dos dados sobre 36 combinaciones posibles que pueden aparecer en un solo lanzamiento.

Cálculo de la Probabilidad de Sucesos Simultáneos:

Analicemos ahora algunos casos de aplicación del cálculo respecto de sucesos con probabilidades compuestas, es decir, conformados por eventos diferentes que pueden ocurrir simultáneamente en un solo ensayo porque no son excluyentes entre sí. Por ejemplo, si se lanzan dos dados al aire, sea el suceso A que aparezca un punto 6 en cualquiera de los dos dados lanzados, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 11/36 (porque hay 11 combinaciones de los puntos de los dados que cumplen esa condición: 1−6, 6−1, 2−6, 6−2, 3−6, 6−3, 4−6, 6−4, 5−6, 6−5, 6−6); y sea el suceso B que los puntos de ambos dados sumen un puntaje igual a 8 puntos, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 5/36 (porque hay 5 combinaciones que cumplen esa condición: 2−6, 6−2, 3−5, 5−3, 4−4). En este caso si un jugador puede ganar un premio si en cualquiera de los dos dados aparece un punto 6 o si el puntaje total de los dos dados es igual a 8 puntos, entonces se puede afirmar que los dos sucesos no son mutuamente excluyentes entre sí pues hay situaciones en las cuales en un solo lanzamiento pueden estar presentes ambos eventos, y por tanto la probabilidad se calcula mediante la fórmula atrás mencionada: P(A,B)−P(AB) = P(A)+P(B)−P(AB) = 11/36+5/36−2/36 = 14/36. Nótese que en este caso en la intersección P(AB) que es restada se tienen en cuenta los términos que son comunes al evento A y al evento B, es decir, se restan 2 combinaciones de las 36 posibles en las cuales aparece el punto 6 en cualquiera de los dados y simultáneamente el puntaje de ambos dados suma 8 puntos: que corresponden a las combinaciones 2−6 y 6−2 que son comunes al evento A y al evento B. Si no se hiciera así entonces erróneamente se pensaría que existe una probabilidad de 16/36 para obtener un 6 en cualquiera de los dos dados, o un puntaje que sume 8 puntos, o ambos eventos al mismo tiempo, cuando realmente la probabilidad es sólo de 14/36.

En otro ejemplo similar, sea el suceso A sacar un as (A) en la primera carta de una baraja inglesa completa, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 4/52, y sea el suceso B sacar una carta de corazones () en la primera carta de una baraja inglesa completa, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 13/52. En este caso los dos sucesos no son mutuamente excluyentes del todo sino que interceptan entre sí, porque en la primera carta extraída de un mazo puede aparecer al menos una que es as (A) y simultáneamente también es de corazones (A), es decir, es posible una intersección entre el suceso A y el suceso B. Por tanto, si un jugador puede ganar un premio si en la primera carta extraída de un mazo aparece un as o una carta de corazones o ambos eventos a la vez, entonces la probabilidad se calcula como: P(A,B)−P(AB) = P(A)+P(B)−P(AB) = 4/52+13/52−1/52 = 16/52, ya que del conjunto total de eventos que favorecen las aspiraciones del jugador (4/52+13/52) hay que restar un término (1/52) que justamente reúne simultáneamente la doble condición de ser un as y ser de corazones (la carta A).

Ahora en otro ejemplo pensemos en un jugador que en una mesa de ruleta francesa ha colocado una ficha al Color Rojo y otra ficha a la Segunda Docena, y por tanto en este caso sea A el evento de que la bola caiga en cualquier número de color Rojo y sea B el evento de que la bola caiga en cualquier número de la Segunda Docena, eventos que no son mutuamente excluyentes entre sí pues perfectamente en un solo lanzamiento la bola puede detenerse en un número que sea rojo y que además pertenezca a la Segunda Docena. La probabilidad de que ocurra A es de 18/37 porque hay 18 números rojos en el cilindro de la ruleta (1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36), mientras que la probabilidad de que ocurra B es de 12/37 porque la Segunda Docena está conformada por los siguientes números (13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24). Claramente se observa que hay 6 números que cumplen la doble condición de ser rojos y pertenecer a la Segunda Docena (14, 16, 18, 19, 21, 23), los cuales tienen una probabilidad de ocurrencia de 6/36. Por consiguiente, la probabilidad de obtener o un número rojo, o un número de la Segunda Docena, o ambos eventos a la vez, se calcula como: P(A,B)−P(AB) = P(A)+P(B)−P(AB) = 18/37+12/37−6/37 = 24/37, porque realmente sólo hay 24 opciones favorables mediante las cuales el jugador puede ganar.

Si en este mismo ejemplo suponemos que el jugador le ha apostado una ficha a Color Rojo, otra ficha a Segunda Docena y otra ficha a Tercera Columna, entonces ahora se trata de 3 eventos que no son excluyentes entre sí y que pueden ocurrir simultáneamente en una misma jugada. Por consiguiente, sea A que la bola caiga en Color Rojo con una probabilidad de 18/37, sea B que la bola caiga en Segunda Docena con una probabilidad de 12/37, y sea C que la bola caiga en la Tercera Columna con una probabilidad de 12/37 (porque hay 12 números que conforman esa columna: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36). En este caso se pueden obtener simultáneamente diferentes combinatorias e intersecciones de los eventos analizados en un solo lanzamiento de la bola, ya que se puede obtener sólo la detención de la bola en un número de Color Rojo (A), o sólo la bola detenida en un número de la Segunda Docena (B), o sólo la bola detenida en un número de la Tercera Columna (C), o la bola detenida en un número que a la vez es Rojo y es de la Segunda Docena (AB), o la bola detenida en un número que a la vez es Rojo y es de la Tercera Columna (AC), o la bola detenida en un número que a la vez es de la Segunda Docena y de la Tercera Columna (BC), o la bola detenida en un número que simultáneamente es Rojo y de la Segunda Docena y de la Tercera Columna (ABC), por tanto el cálculo de la probabilidad debe tener en cuenta todas estas posibles intersecciones mediante el desarrollo de la siguiente fórmula:

P(A,B,C)−P(AB)−P(AC)−(BC)+(ABC) =

P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−(BC)+(ABC) =

18/37+12/37+12/37−6/37−8/37−4/37+2/37 = 26/37

Nótese que en esta fórmula los números que simultáneamente son Rojos y de la Segunda Docena son 6 de 37 (14, 16, 18, 19, 21, 23), los número que simultáneamente son Rojos y de la Tercera Columna son 8 de 37 (3, 9, 12, 18, 21, 27, 30, 36), los números que simultáneamente son de la Segunda Docena y de la Tercera Columna son 4 de 37 (15, 18, 21, 24), y finalmente los números que reúnen la triple condición de ser Rojos y de la Segunda Docena y de la Tercera Columna son 2 de 37 (18, 21) los cuales no deben ser sustraídos sino adicionados dado que en las anteriores intersecciones explicadas ya fueron restados.

Teoría de Conjuntos, Sucesos Excluyentes y Sucesos Simultáneos:

Independientemente de que el cálculo se refiera a la probabilidad de ocurrencia de sucesos mutuamente excluyentes entre sí o a la probabilidad de ocurrencia de sucesos simultáneos que interceptan entre sí de alguna manera, en este punto para realizar el análisis acertado de cualquier problema es conveniente aplicar toda la vieja «Teoría de los Conjuntos» referente a las operaciones de «unión» (U) o de «intersección» (∩) entre conjuntos como se explica a continuación: 

Teoría de Conjuntos en juegos de azar en sucesos excluyentes.

El cálculo de probabilidades se relaciona en más de un sentido con la Teoría de los Conjuntos, porque en últimas cuando se habla de combinatoria, permutaciones, uniones o intersecciones entre sucesos diferentes siempre se hace referencia a conjuntos o subconjuntos que abarcan determinados Espacios de Eventos que pueden ocurrir de forma aleatoria dentro de un determinado número de ensayos. Cuando dos o más sucesos son Mutuamente Excluyentes entre sí, es fácil imaginarlos como conjuntos separados que no tienen ningún elemento o término común entre sí, y es por eso que la ocurrencia de uno de esos sucesos en un ensayo excluye la posible ocurrencia de los otros. En este caso las probabilidades de ocurrencia individual de cada suceso se suman entre sí, porque cualquiera de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, operación que es equivalente a la unión entre los elementos de los diferentes conjuntos que se expresa mediante el símbolo matemático U (de Unión). La anterior gráfica basada en diagramas de Venn representa como suceso A obtener un 1 en el lanzamiento de un solo dado, y como suceso B obtener un 6 en el lanzamiento de un solo dado, sucesos que son mutuamente excluyentes entre sí porque los dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, y como la probabilidad de ocurrencia de cada suceso es de 1/6, entonces si un jugador espera ganar un premio al obtener un 1 o bien un 6 en el lanzamiento de un dado, entonces sólo cabe sumar las probabilidades de ambos sucesos (equivalente a unir ambos conjuntos: AUB), y por tanto la probabilidad para ganar es de: 1/6+1/6 = 2/6.

Sucesos excluyentes en un mazo de cartas de póquer.

Como lo muestra la anterior gráfica, si el suceso A es obtener un as en la primera carta sacada de un mazo de 52 cartas y el suceso B es obtener un rey en la primera carta sacada de un mazo de 52 cartas, entonces es evidente que se trata de dos sucesos Mutuamente Excluyentes entre sí que forman dos conjuntos diferenciados. Si un jugador espera ganar un premio por obtener un as o un rey en la primera carta extraída de un mazo de 52 cartas, entonces la probabilidad de triunfo está dada por la sumatoria de las probabilidades individuales de cada suceso excluyente (es decir, AUB), y por tanto la probabilidad es de: 4/52+4/52 = 8/52. El jugador para ganar tiene 8 posibles eventos favorables sobre 52 eventos posibles.

Resultados simultáneos en la ruleta francesa.

Muchos juegos de azar creados desde inicios de la Modernidad se basan en lograr que un mismo evento aleatorio pueda ser interpretado como diferentes resultados a los que se les puede apostar en una sola jugada, lo cual hace más llamativos los tapetes de las mesas de juego y crea en el jugador la falsa ilusión de que dispone de un amplio abanico de opciones para apostar y obtener diferentes premios. El juego más representativo de esta tendencia es la ruleta francesa, en la cual cada vez que la bola se detiene en una casilla numerada es como si simultáneamente ocurrieran diversos eventos que no son excluyentes entre sí, ya que al detenerse la bola no sólo aparece uno de los 37 números del tapete, sino que además según ese número se puede interpretar que ocurrió el evento Rojo o Negro, o el evento Par o Impar, o el evento Mayor o Menor, o el evento Primera Docena o Segunda Docena, etc. Si el jugador en un juego de azar puede apostarle a diversos eventos que pueden ocurrir simultáneamente en una misma jugada, entonces es conveniente saber calcular adecuadamente las probabilidades de triunfo para no llamarse a engaños creyendo que al cubrir más opciones del tapete multiplica enormemente sus probabilidades.

Comprensión de resultados simultáneos en la ruleta francesa.

Cuando hay varios eventos diferentes que pueden ocurrir simultáneamente, entonces al reunirlos en sus respectivos grupos diferenciadores se observará que existen elementos en común entre un grupo y el otro, lo cual precisamente se conoce como la «intersección entre los elementos de los conjuntos» que se expresa mediante el símbolo matemático ∩. La intersección de conjuntos implica que hay elementos que reúnen una doble condición que les permite estar por igual en un conjunto o en el otro (como si fueran elementos híbridos), y por tanto en cualquier cálculo matemático esos elementos no deben ser contabilizados dos veces sino una sola vez porque al ocurrir una sola vez dan cumplimiento simultáneo a las dos condiciones que los caracterizan. Justamente, la anterior gráfica basada en diagramas de Venn muestra que el grupo A está formado por los 18 números de Color Rojo de la ruleta francesa, y el grupo B por los 12 números de la Segunda Docena de la ruleta francesa, conjuntos de eventos que no son excluyentes y que al interceptar entre sí (AB) demuestran que hay 6 eventos que son comunes a ambos grupos. Por consiguiente, si un jugador apostó a ganar con la aparición de un número de Color Rojo (18 números) o con la aparición de un número de la Segunda Docena (12 números), entonces no tiene a su favor la ocurrencia de 30 eventos posibles (18+12 = 30) como pudiera pensarse a primera vista, sino sólo la ocurrencia de 24 eventos favorables como lo muestra el enlazamiento final entre los conjuntos A y B, todo lo cual puede ser calculado mediante las fórmulas ya mencionadas. En este caso aunque el jugador coloca una ficha en el Color Rojo y otra en la Segunda Docena, realmente le está apostando a la ocurrencia de 3 resultados claramente diferenciados: que la bola caiga en un número que sólo tiene la calidad de ser de Color Rojo (12/37), que la bola caiga en un número que sólo tiene la calidad de ser de la Segunda Docena (6/37), y que la bola caiga en un número que reúne la doble calidad de ser de Color Rojo y de la Segunda Docena (6/37), es por eso que la probabilidad total de acertar en ese tipo de apuesta es de 12/37+6/37+6/37 = 24/37.

Comprensión de resultados simultáneos en la ruleta francesa.

Esta gráfica basada en diagramas de Venn muestra el caso del jugador que en la ruleta francesa le ha apostado una ficha a Color Rojo (suceso A), otra ficha a Segunda Docena (suceso B), y otra ficha a Tercera Columna (suceso C). Los tres conjuntos pueden interceptar entre sí porque tienen varios eventos que pueden ocurrir simultáneamente en una misma jugada. El jugador calcularía muy mal su probabilidad de triunfo si creyera que tiene a su favor 42 opciones simplemente al reunir todos los elementos de los tres conjuntos: 18+12+12 = 42. En verdad, al apostarle a las tres opciones que interceptan entre sí, el jugador debe esperar la ocurrencia de 7 resultados claramente diferenciados en la gráfica: que la bola caiga en un número que sólo tiene la calidad de ser de Color Rojo (6/37), que caiga en un número que sólo es de la Segunda Docena (4/37), que caiga en un número que sólo es de la Tercera Columna (2/37), que caiga en un número que tiene la doble condición de ser de Color Rojo y de la Segunda Docena (4/37), que caiga en un número que tiene la doble condición de ser de Color Rojo y de la Tercera Columna (6/37), que caiga en un número con la doble condición de ser de la Segunda Docena y de la Tercera Columna (2/37), o que caiga en un número que tiene la triple condición de ser de Color Rojo y de la Segunda Docena y de la Tercera Columna (2/37). La sumatoria de todos estos posibles resultados es: 6/37+4/37+2/37+4/37+6/37+2/37+2/37 = 26/37. Este ejemplo muestra claramente que en muchos casos cubrir con apuestas más opciones diferentes de un mismo tapete de una mesa de juego no es equivalente a ampliar enormemente las probabilidades de triunfo, pues si al apostar así hay diferentes eventos que interceptan entre sí porque al ocurrir en una sola jugada reúnen una doble o una triple condición, entonces tales eventos deben ser contabilizados como uno solo, lo que implica que no hay un real incremento en las probabilidades de triunfo.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

Tijms, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Gaming Mathematics; Inclusión−Exclusion Principle; Intersection; Probability Theory; Sample Space; Set; Subset; Theory of Probability; Venn Diagram

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