EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

PROBABILIDAD CONDICIONAL DE SUCESOS DEPENDIENTES Y SUCESOS INDEPENDIENTES EN JUEGOS DE AZAR.

La Fórmula de la Probabilidad Condicional:

Algunas veces en el cálculo de probabilidades hay que tener en cuenta las relaciones particulares que se pueden establecer respecto de las probabilidades de ocurrencia de diferentes eventos, pues hay ocasiones en que la ocurrencia de un evento D1 puede disminuir o incrementar la probabilidad individual de ocurrencia de un evento D2, caso en el cual se dice que ambos eventos son «dependientes entre sí» porque la ocurrencia de D1 condiciona la posible ocurrencia de D2, pero existen otras ocasiones en que la ocurrencia de D1 para nada afecta la probabilidad de ocurrencia de D2, caso en el cual se afirma que ambos eventos son «independientes entre sí».

La denominada «Probabilidad Condicional» justamente sirve para calcular los chances de ocurrencia de un evento D2 dada la ocurrencia de un evento D1, teniendo en cuenta si los eventos en cuestión son dependientes o independientes entre sí, y generalmente este tipo de probabilidad se expresa mediante la fórmula P(D2\D1) en la que se usa el símbolo matemático back slash (\) para separar los eventos analizados, expresión que se lee como «la probabilidad de ocurrencia de D2 dada la ocurrencia de D1».

En la práctica el cálculo de este tipo de probabilidad se realiza mediante la multiplicación de los valores de la probabilidad individual atribuidos a cada evento que es analizado así: P(D2\D1) = P(D1)×P(D2\D1), y para resolver esta operación matemática siempre se comienza por establecer cuál es la probabilidad de ocurrencia del evento D1 para luego determinar si condiciona o no la probabilidad de ocurrencia del evento D2.

Comprendiendo la Probabilidad de Sucesos Dependientes y Sucesos Independientes:

Por ejemplo, supongamos que hay una urna que contiene 3 balotas blancas y 2 balotas negras, es decir contiene en total 5 balotas, de tal forma que estas balotas son extraídas aleatoriamente tomando de a una balota a la vez y toda balota que es extraída no es devuelta a la urna sino hasta que se agota su contenido. Supongamos que se identifica como D1 el suceso «la primera balota extraída de la urna es negra» y como D2 el suceso «la segunda balota extraída de la urna es negra». Es evidente que en este ejemplo la ocurrencia del suceso D1 condiciona la probabilidad de ocurrencia del suceso D2, porque si la primera balota extraída es negra entonces al no ser devuelta a la urna no sólo se reduce el número total de balotas que quedan en la urna (de 5 se pasa a 4 balotas) sino que también se reduce el número de balotas negras que aún quedan en la urna, es decir, los dos sucesos son dependientes entre sí porque la ocurrencia de D1 influye en el valor de la probabilidad de ocurrencia de D2. Habiendo esclarecido este punto, a continuación se calcula P(D1), es decir, la probabilidad de ocurrencia individual del evento D1 que corresponde a la extracción en primer lugar de una balota negra de la urna, para lo cual se tiene en cuenta que en la urna hay 3 balotas blancas y 2 balotas negras y por tanto esa probabilidad es igual a: P(D1) = 2/5, porque sólo hay 2 eventos favorables sobre los 5 eventos posibles. Luego se establece la probabilidad de ocurrencia condicionada de D2, es decir, la probabilidad de que la segunda balota extraída de la urna sea negra dada la ocurrencia previa de D1, esto es: P(D2\D1) = 1/4, porque si se asume que la primera balota extraída fue negra entonces es evidente que en la urna ahora sólo quedan 1 balota negra y 3 balotas blancas, es decir, queda 1 solo evento favorable sobre 4 eventos posibles.

Con estos datos aclarados ya se puede realizar la multiplicación que permite obtener el valor de la probabilidad de que tanto la primera como la segunda balota extraídas de la urna sean negras: P(D2\D1) = P(D1)×P(D2\D1) = 2/5×1/4 = 1/10. Es decir, este resultado indica que de 10 formas distintas como podrían aparecer 2 de las 5 balotas al ser extraídas aleatoriamente de la urna en dos intentos consecutivos, sólo hay 1 combinación en la que la primera y la segunda balota extraídas son negras, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que ocurra el sucedo D2 (extraer una balota negra en el segundo intento) dada la ocurrencia del suceso D1 (extraer una balota negra en el primer intento) es de 1/10. La forma de probar lo anterior es mediante el Análisis Combinatorio, asumiendo que a y b son las 2 balotas negras y que c, d y e son las 3 balotas blancas, para lo cual se aplica la fórmula 5C2 que arroja la cantidad total de combinaciones posibles que pueden ocurrir entre 5 balotas colocadas en una urna cuando 2 balotas son extraídas del conjunto, es decir: 5C2 = 5×4/2×1 = 20/2 = 10 combinaciones, las que a su vez se pueden representar como: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce y de, dentro de las cuales solamente la combinación ab implica la aparición consecutiva de las 2 balotas negras y por tanto su probabilidad de ocurrencia es de 1/10 = 0,1.

Si en el mismo ejemplo antes mencionado ahora imaginamos que cada balota que aleatoriamente es extraída de la urna es regresada inmediatamente a la misma, entonces en tal caso la ocurrencia del suceso D1 (extraer balota negra en el primer intento) en nada afecta la probabilidad de ocurrencia del suceso D2 (extraer balota negra en el segundo intento), ya que en cada ocasión el conjunto sigue conformado por 5 balotas dentro de la urna, y en cada ocasión siguen habiendo dentro de la urna 2 balotas negras y 3 balotas blancas, es decir, la probabilidad de sacar una balota negra en cualquier intento se mantiene constante en 2/5 y por tanto se puede concluir que D1 y D2 son dos sucesos independientes entre sí. En este caso para calcular la probabilidad P(D2\D1) se tiene en cuenta que la probabilidad individual de ocurrencia de D1 es de 2/5 y que la probabilidad de ocurrencia de D2 dada la ocurrencia de D1 es la misma, porque se trata de dos sucesos que son independientes entre sí, y por tanto la probabilidad de que en los dos primeros intentos consecutivos se obtenga la extracción de una balota negra de la urna es de: P(D2\D1) = P(D1)×P(D2\D1) = 2/5×2/5 = 4/25, es decir, de un total de 25 maneras distintas como pueden aparecer consecutivamente 2 balotas que son extraídas de la urna sólo hay 4 maneras en que aparece consecutivamente una balota de color negro. Esto se prueba teniendo en cuenta que la cantidad de eventos que pueden ocurrir en cada momento, esto es la extracción consecutiva de 2 balotas de la urna, ya sea cualquiera de las 2 balotas negras (a y b) o cualquiera de las 3 balotas blancas (c, d y e), se mantiene constante en cada ocasión que una balota es extraída de la urna, y por tanto la cantidad total de posibles combinaciones que pueden ocurrir es resultante de la potencia 52 = 25, y como dentro de las 5 balotas de la urna sólo hay 2 que son negras (a y b), entonces éstas entre sí sólo pueden formar 4 combinaciones posibles (resultantes del cálculo de 2C2), las cuales se representan como aa, ab, ba y bb, razón por la cual la probabilidad de que una balota negra sea extraída de la urna en un segundo intento (D2) si previamente en el primer intento también ha sido extraída una balota negra (D1) es de 4/25 = 0,16.

Probabilidades en Juegos de Azar con resultados Dependientes o Independientes:

El último ejemplo analizado es muy ilustrativo de lo que ocurre en muchos juegos de azar en los que en cada jugada la probabilidad de ocurrencia individual de cualquier resultado se mantiene constante, porque se trata de juegos en los que los resultados son «independientes entre sí», es decir, la ocurrencia previa de un resultado en el juego en nada aumenta o disminuye la probabilidad de ocurrencia futura del mismo resultado o de cualquier otro resultado. Basta pensar en el lanzamiento de una moneda al aire, en la que tanto la cara como la cruz tienen la misma probabilidad de ocurrencia (1/2) en cada lanzamiento de la moneda, y la aparición previa de cualquiera de esos dos resultados en nada incrementa o disminuye su probabilidad futura que se mantiene en 1/2, es decir, en este caso la probabilidad de ocurrencia de un resultado no está condicionada por los resultados que previamente ocurrieron.

Y si se piensa en el popular juego del craps también se observa que en cada lanzamiento de los dos dados pueden ocurrir 36 posibles combinaciones entre los puntos de los dados (6 de un dado × 6 del otro dado = 36 combinaciones), y cada una de esas combinaciones entre los puntos tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/36, sin que los puntajes que han aparecido previamente alteren o condicionen la probabilidad futura de aparición de esas combinaciones.

Del mismo modo, en el caso de la ruleta francesa también ocurre lo mismo, pues en cada lanzamiento de la bola hay 37 números equiprobables que por igual pueden aparecer con una probabilidad de ocurrencia de 1/37, y tal valor se mantiene constante en cada lanzamiento de la bola simplemente porque los números previos que han aparecido no son suprimidos de la ruleta ni condicionan la probabilidad de ocurrencia de los resultados futuros.

Muy distinta es la situación respecto de los denominados «juegos sin reemplazo», es decir, aquellos en los que los resultados aparecidos en cada jugada son tenidos en cuenta en la realización de las jugadas futuras, lo que ocurre principalmente en los juegos de azar que se realizan con el uso de barajas de cartas (póquer, blackjack, baccarat, Draw Poker, etc.), porque en estos juegos a medida que se van extrayendo las cartas de un mazo o de un zapato asimismo se van alterando las probabilidades de ocurrencia de un determinado resultado esperado, es decir, según las cartas que son retiradas y según las cartas que quedan en el mazo o en el zapato es posible que se incremente o disminuya la probabilidad de lograr determinada combinación, y por tanto en este tipo de juegos los eventos son «dependientes entre sí» y su probabilidad generalmente se calcula como una probabilidad condicionada.

Por ejemplo, si un mazo de 52 cartas se mezcla y se espera que la primera carta extraída sea un as (D1), y que sin realizar su reemplazo dentro del mazo se observe que la segunda carta extraída también sea un as (D2), entonces ambos sucesos son dependientes entre sí y la ocurrencia del uno condiciona la probabilidad de ocurrencia del otro, ya que la probabilidad de D1 es de 4/52 porque en el mazo completo hay 4 ases dentro de 52 cartas disponibles, y una vez que ese suceso ocurre la probabilidad de D2 se reduce a 3/51 porque ahora en el mazo sólo quedaron 3 ases dentro de 51 cartas disponibles, y por tanto la probabilidad condicionada para obtener un as en la primera y en la segunda carta extraídas del mismo mazo es de: P(D2\D1) = P(D1)×P(D2\D1) = 4/52×3/51 = 12/2.652 = 0,00452. Pero si en el mismo ejemplo suponemos que la primera carta extraída después de ser mirada es devuelta al mazo que de nuevo es mezclado, es decir, ocurre como si fuera un juego con reemplazo,  entonces en tal caso D1 y D2 son dos eventos independientes entre sí, pues la probabilidad de obtener un as en la primera carta extraída es de 4/52 y la probabilidad de obtener un as en la segunda carta extraída vuelve a ser de 4/52 debido a que la primera carta extraída es reintegrada inmediatamente al mazo, y por tanto en este caso la probabilidad de obtener un as en ambas cartas es de: P(D2\D1) = P(D1)×P(D2\D1) = 4/52×4/52 = 16/2.704 = 0,00591.

Es muy importante para el jugador profesional saber si un juego de azar está conformado por resultados que en cada jugada son independientes de los resultados aparecidos en las jugadas previas (como ocurre en juegos como el lanzamiento de monedas, la ruleta, el craps, el sic−bo, la rueda de la fortuna, etc.), o si se trata de un juego de azar en el que los resultados aparecidos en cada jugada son dependientes de los resultados aparecidos en las jugadas previas (como ocurre en juegos sin reemplazo como el póquer, el blackjack, el baccarat, del Draw Poker, etc.). Lo anterior porque en el primer caso el valor de la probabilidad de ocurrencia de cada posible resultado del juego se mantiene constante jugada a jugada y es fácil calcularlo, lo cual resulta muy útil para establecer una estrategia de juego o de apuestas que se puede aplicar de forma fija en cada jugada; mientras que en el segundo caso el valor de la probabilidad de ocurrencia de cada posible resultado del juego se mantiene variando jugada a jugada según los resultados previos aparecidos y es complejo calcularlo exactamente para cada ocasión, ante lo cual puede resultar poco práctico establecer una estrategia general de juego o de apuestas para aplicarla de forma fija en cada jugada, porque tal estrategia no responderá plenamente a los reales cambios que jugada a jugada afectan las probabilidades de ocurrencia de los posibles resultados del juego.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

Tijms, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Conditional Probability; Gaming Mathematics; Probability Theory; Random Variable; Sample Space; Theory of Probability

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