EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
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[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

CÁLCULO DEL VALOR DE PROBABILIDAD DE UN EVENTO EN JUEGOS DE AZAR.

Comprendiendo el Valor Matemático de la Probabilidad:

Ahora que se conoce qué es un conjunto conformado por el Espacio de Eventos posibles que puede producir aleatoriamente como resultado un juego de azar, y también se conoce qué es un subconjunto A conformado por los Eventos Favorables de un juego de azar definidos según las necesidades de cada jugador o según las reglas particulares del juego, es viable avanzar hacia la representación de la probabilidad de ocurrencia de un evento expresándola en términos matemáticos.

Cuando se tiene un conjunto (Ω) que equivale a un Espacio de Eventos posibles que puede producir un juego de azar, y también se tiene un subconjunto (A) de Eventos Favorables posibles de ese juego seleccionados del conjunto Ω, entonces la PROBABILIDAD se define como una función matemática que se denota mediante la letra «P», que sirve para atribuirle un valor a los elementos que conforman el subconjunto A en términos de las razones matemáticas que apoyan su potencial ocurrencia o no ocurrencia. Desde los tiempos de Gerolamo Cardano la probabilidad de que ocurra un evento favorable en una sola jugada se define matemáticamente como el cociente que se obtiene al dividir el número de Eventos Favorables posibles por el número total de eventos que conforman el Espacio de Eventos y que igualmente son posibles en una específica jugada, relación que se expresa mediante la siguiente fórmula:

Probabilidad = Eventos Favorables Posibles / Espacio de Eventos Posibles; o lo que es exactamente lo mismo expresado en otros términos: P = A/Ω.

La probabilidad es entonces una función matemática basada en las proporciones, que consiste en realizar una división entre el número total de los eventos favorables que conforman un subconjunto A sobre el número de todos los eventos posibles del conjunto Ω que como resultado puede arrojar un juego, división que siempre produce un resultado cuyo valor fluctúa entre cero (0) y uno (1), entendiéndose que cero (0) equivale a total Improbabilidad de ocurrencia del evento favorable, mientras que uno (1) equivale a muy Alta Probabilidad de ocurrencia del evento favorable como lo señaló el gran matemático Jacob Bernoulli que fue el primero en analizar este tema. 

El valor matemático de la Probabilidad entre 0 y 1.

Como lo muestra esta imagen, si imaginamos una regla métrica que tiene infinitas divisiones en el segmento comprendido entre el 0 y el 1, entonces se puede afirmar que la fórmula de la probabilidad (P = A/Ω) aplicada a los eventos que como resultado produce un juego de azar siempre debe producir un valor que estará ubicado dentro de ese segmento comprendido entre el 0 y el 1. Si el valor obtenido se aproxima cada vez más hacia el lado del cero (0), eso equivale a que cada vez son menores () las probabilidades existentes para que el evento ocurra. En cambio, si el valor obtenido se aproxima cada vez más hacia el lado del uno (1), eso equivale a que cada vez son mayores (+) las probabilidades existentes para que el evento ocurra. Por ejemplo, si sobre esta regla un evento tiene una probabilidad con valor 0,15, eso equivale a que «remotamente podrá ocurrir»; si el evento tiene una probabilidad con valor 0,35, eso equivale a que el evento aún tiende «mayormente a no ocurrir»; si el evento tiene una probabilidad de valor 0,5, eso equivale a que son exactamente iguales las probabilidades existentes para que el evento ocurra y las probabilidades existentes para que el evento no ocurra, es decir, en un lanzamiento o jugada el evento puede ocurrir como puede no ocurrir; si el evento tiene una probabilidad de valor 0,65, eso equivale a que tiende «mayormente a ocurrir»; y si el evento tiene una probabilidad digamos de valores tales como 0,80 ó 0,90 ó 095, entonces eso equivale a que el evento «muy seguramente podrá ocurrir».

En todo caso, no se debe perder de vista que estas valoraciones de las probabilidades de ocurrencia de un evento sólo son ciertas y totalmente válidas en el «perfecto mundo de las matemáticas», y por tanto, si al aplicar la fórmula de la probabilidad (P = A/Ω) se concluye que un evento tiene un valor de 0,98 de probabilidad, eso no equivale a que con total certeza necesariamente el evento ocurrirá en el mundo real en la siguiente jugada, es decir, el cálculo de probabilidades sólo ofrece un «modelo ideal» orientador que sirve para formarse un idea sobre las razones a favor o en contra que existen para creer en la ocurrencia de un evento, pero no es un «predicción» certera sobre la marcha futura de los eventos aleatorios e impredecibles que ocurren en el mundo real.

De forma inversa, la probabilidad de que un evento no ocurra, se denota mediante la letra «q», y se expresa mediante la siguiente fórmula matemática:

q = 1−A/Ω; o lo que es exactamente lo mismo: q = 1 − Eventos Favorables Posibles / Eventos Posibles.

Ejemplos del cálculo del Valor de la Probabilidad en algunos juegos de azar:

En el caso del lanzamiento de un solo dado sobre una mesa se sabe que el espacio de eventos posibles que como resultado puede arrojar ese juego es el siguiente conformado por 6 eventos: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; y si un jugador según sus intereses particulares define como eventos favorables aquellos «resultados del dado que son un número par», entonces ese subconjunto A queda conformado por 3 eventos posibles, así: A = {2, 4, 6}. Ahora, si ese mismo jugador desea conocer en valores matemáticos cuál es la probabilidad de que cualquiera de esos 3 eventos favorables ocurra en un solo lanzamiento del dado, debe aplicar la fórmula de la probabilidad antes comentada (P = A/Ω), cuyos términos al ser sustituidos implican esta operación matemática: P = 3 eventos favorables/6 eventos posibles; es decir, P = 3/6, que arroja como resultado: P = 0,5. Este valor obtenido (0,5), corresponde exactamente a la mitad entre los valores 0 y 1, lo que equivale a que es «medianamente probable» que en el lanzamiento de un solo dado aparezca como resultado cualquiera de los 3 números pares de sus caras (2, 4, 6), pues esa probabilidad es exactamente igual a la que existe para que aparezca como resultado cualquiera de los 3 números impares del dado (1, 3, 5).

Si el lector desea expresar en términos porcentuales este valor de probabilidad obtenido en el ejemplo anterior, lo único que tiene que hacer es multiplicarlo por 100, esto es: 0,5×100 = 50%; lo que significa que existe 50% de probabilidades de que al lanzar el dado aparezca un numero par (2, 4, 6), contra 50% de probabilidades de que en el lanzamiento del dado aparezca un número impar (1, 3, 5).

Si el mismo jugador define como único evento favorable acertarle al número 5 en un solo lanzamiento del dado, y desea conocer las probabilidades de que tal evento favorable ocurra, basta aplicar la fórmula (P = A/Ω), dividiendo el número de eventos favorables posibles (1) por el número total de eventos posibles que como resultado puede arrojar el lanzamiento del dado (6). Para calcular este cociente se realiza esta división: P = 1 evento favorable/6 eventos posibles; es decir, P = 1/6, lo que arroja como valor: P = 0,1666666; valor que al ser expresado en términos porcentuales (0,1666666×100), equivale a 16,66666% de probabilidades que tiene el número 5 de salir en ese tiro. Si en este caso se desea calcular cuál es la probabilidad en contra de que el número 5 aparezca en el lanzamiento de un solo dado, basta aplicar la fórmula inversa de la probabilidad (q = 1−A/Ω), esto es: q = 1−1/6 = 1−0,1666666 = 0,8333334; y esta última cifra se puede expresar en términos porcentuales (100×0,8333334 = 83,33334%), lo que indica que existen 83,33334% de probabilidades desfavorables para que en ese tiro salga cualquiera de los otros cinco números del dado (el 1, el 2, el 3, el 4 o el 6), y esto significa que el evento «aparición del número 5» puede ser calificado como «poco probable», porque en este caso son mayores las probabilidades en contra (83,33334%) que las probabilidades a favor de su ocurrencia (16,66666%).

Cuando el juego consiste en lanzar el dado y ganar la apuesta únicamente si cae el 1 o el 6, entonces en tal caso el subconjunto de eventos favorables está conformado por 2 eventos posibles: A = {1, 6}. Si un jugador desea conocer las probabilidades existentes para que en un tiro del dado aparezca cualquiera de esos dos números, basta que aplique la fórmula mencionada (P = A/Ω) mediante la siguiente operación: P = 2 eventos favorables/6 eventos posibles; es decir, P = 2/6, que arroja el siguiente valor: P = 0,3333333; valor que al ser expresado en términos porcentuales (0,3333333×100) equivale a 33,33333% de probabilidades favorables que existen para que los números 1 ó 6 aparezcan en ese tiro, contra 66,66667% de probabilidades desfavorables (porque: q = 1−2/6 = 1−0,3333333 = 0,6666667×100 = 66,66667%) que existen de que en ese tiro salga cualquiera de los otros 4 números de las caras del dado: el 2, el 3, el 4 o el 5; lo que significa que la ocurrencia de cualquiera de los dos eventos favorables (1 ó 6) sigue siendo «poco probable».

Y si el juego consiste en lanzar el dado y ganar la apuesta sólo si cae el 1, el 2, el 3 o el 4, entonces el subconjunto de eventos favorables queda conformado por cuatro eventos posibles, caso en el cual comienza a volverse «altamente» probable que cualquiera de esos cuatro eventos favorables ocurra, como se demuestra al aplicar la fórmula: P = 4 eventos favorables/6 eventos posibles; es decir, P = 4/6, que arroja el valor: P = 0,6666666; valor que en términos porcentuales equivale a 66,66666% de probabilidades a favor que tienen los números 1, 2, 3 ó 4 de aparecer en un lanzamiento del dado, sobre 33,33334% de probabilidades en contra representadas por la aparición del 5 o el 6 con los que se pierde la apuesta.

Valores de la probabilidad en el Craps.

La anterior gráfica muestra todas las 36 posibles combinaciones de los resultados que pueden aparecer cuando se produce el lanzamiento simultáneo de 2 dados sobre una mesa de Craps. Igualmente, esta gráfica muestra cuántos eventos favorables posibles existen para obtener como resultado un puntaje de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ó 12 puntos. Por ejemplo, para obtener un 7 existen seis vías posibles: A = {(1,6), (6,1), (5,2), (2,5), (3,4), (4,3)}; para obtener un 10 existen tres vías posibles: A = {(4,6), (6,4), (5,5)}; y para obtener un «ojos de serpiente» sólo existe una vía posible: A = {(1,1)}. Para saber cuántas vías existen para obtener un número impar como resultado del lanzamiento de los dos dados, basta sumar las vías posibles que existen para la aparición de 3, 5, 7, 9 y 11 puntos, lo que arroja este resultado: 2+4+6+4+2 = 18 eventos favorables posibles para la aparición de un número impar. Finalmente, la tabla también incluye un número fraccionario que representa los eventos favorables sobre los eventos posibles, lo que permite calcular las probabilidades que tiene de aparecer un puntaje de 2, 3, 4, 5 ó más puntos. Por ejemplo, las probabilidades que existen para la aparición de combinaciones de los dos dados que suman 7 puntos son de 6/36, es decir, P = 0,1666666; las probabilidades existentes para la aparición de combinaciones de los dos dados que suman 4 puntos son de 3/36, es decir, P = 0,083333; y las probabilidades para obtener un ojos de serpiente son de 1/36, es decir, P = 0,027777. Y si se desea conocer la probabilidad para la aparición de todos los resultados impares (3, 5, 7, 9, 11), basta sumar los fraccionarios que aparecen frente a cada uno de esos posibles resultados: 2/36 + 4/36 + 6/36 + 4/36 + 2/36 = 18/36, es decir, P = 0,5.

En el caso de la ruleta americana también son aplicables las mismas fórmulas, con la advertencia de que en este caso lo que cambia es el tamaño del Espacio de Eventos Ω que queda conformado por todos los números dibujados en las 38 casillas de la ruleta en los cuales por igual puede detenerse la bola en cada lanzamiento. Por ejemplo, si un sujeto desea saber cuál es la probabilidad que existe de que la bola se detenga en cualquiera de los números de casilla de color rojo, sabemos que en tal caso el subconjunto A queda formado por 18 posibles eventos favorables: A = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}; y al aplicar la fórmula para calcular la probabilidad, se obtiene la siguiente operación: P = 18 eventos favorables/38 eventos posibles; es decir, P = 18/38, que arroja el siguiente valor: P = 0,473684. Este valor en términos porcentuales (0,473684×100) equivale a que el jugador cuenta con 47,3684% de probabilidades a favor de que la bola se detenga en cualquier número de casilla de color rojo, en contra de 52,6316% de probabilidades (q = 1−18/38 = 1−0,473684 = 0,526316) que existen para que la bola se detenga en cualquiera de las restantes 20 casillas de la ruleta (las negras, el 0 y el 00) con las cuales gana el casino.

Si el jugador está interesado en saber cuál es la probabilidad que existe de que la bola se detenga en cualquiera de los números pares de la ruleta, en tal caso el subconjunto A queda formado por 18 posibles eventos favorables: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}; y al aplicar la fórmula mencionada resulta esta operación: P = 18 eventos favorables/38 eventos posibles; es decir, P = 18/38, que arroja este valor: P = 0,473684; valor que en términos porcentuales (0,473684×100) equivale a que el jugador cuenta con 47,3684% de probabilidades a favor de que la bola se detenga en cualquier número par, en contra de 52,6316% de probabilidades (q = 1−47,3684) de que la bola se detenga en cualquiera de las restantes 20 casillas de la ruleta (las 18 de los números impares, el 0 y el 00) con las que gana el casino.

Si el jugador desea saber cuál es la probabilidad existente de que la bola se detenga en cualquiera de los números de la ruleta americana que conforman la Tercera Docena, entonces el subconjunto de eventos favorables queda conformado por estos 12 eventos: A = {25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}; y al aplicar la fórmula de la probabilidad se obtiene: P = 12 eventos favorables/38 eventos posibles; es decir, P = 12/38, que arroja como valor: P = 0,3157894; valor que en porcentajes (0,3157894×100) equivale a que el jugador cuenta con 31,57894% de probabilidades a favor de que la bola se detenga en cualquier número de la Tercera Docena, contra 68,42106% de probabilidades de que la bola caiga en cualquiera de las restantes 26 casillas de la ruleta (q = 1−12/38 = 1−0,3157894 = 0,6842106).

Si el jugador en la ruleta americana le apuesta un pleno al 17 negro y desea saber la probabilidad existente de que la bola en un tiro se detenga en ese número, entonces el subconjunto de eventos favorables queda reducido a un solo elemento: A = {17}; y al aplicar la fórmula se obtiene: P = 1 evento favorable/38 eventos posibles; es decir, P = 1/38, lo que arroja como valor: P = 0,0263157; valor que en términos porcentuales (0,0263157×100) equivale a que el jugador sólo cuenta con 2,63157% de probabilidades a favor de que la bola caiga en el 17 negro, contra 97,36843% de probabilidades a favor del casino de que la bola caiga en cualquier número distinto al 17 negro.

Valores de la Probabilidad en la Ruleta Americana y Ruleta francesa.

Esta gráfica muestra la manera como están clasificados y distribuidos todos los números que puede arrojar como resultado la ruleta francesa y la ruleta americana, y también señala las probabilidades existentes a favor de esos distintos resultados. Por ejemplo, si se apuesta a los 18 números rojos en la ruleta francesa, entonces las probabilidades a favor son de 18/37, es decir, P = 0,486486; mientras que en el caso de la ruleta americana las probabilidades a favor de los 18 números rojos son de 18/38, es decir, P = 0,473684. En el caso de la ruleta francesa la apuesta a los 12 números de la Primera Docena tiene una probabilidad de 12/37, es decir, P = 0,324324; mientras que en el caso de la ruleta americana la probabilidad a favor de los 12 números de la Primera Docena es de 12/38, es decir, P = 0,315789. En la ruleta francesa existe un solo cero (0), cuya probabilidad de ocurrencia a favor es de 1/37, es decir, P = 0,027027; mientras que en la ruleta americana existen dos ceros (0, 00), cuya probabilidad de ocurrencia a favor es de 2/38, es decir, P = 0,052631.

En el caso del póquer Texas Hold’em también son aplicables las fórmulas para el cálculo de probabilidades, con la particularidad de que el tamaño del Espacio de Eventos Ω va variando en los distintos momentos del juego, debido a que se va reduciendo el tamaño del mazo de 52 cartas al descontar del mismo las cartas que son entregadas a los jugadores o colocadas sobre la mesa en cada jugada, con lo que a su vez se reduce el número de posibles combinaciones que se pueden producir entre las cartas que van quedando en el mazo. En una partida de póquer Texas Hold’em sabemos que un jugador en las dos primeras pocket cards (cartas cubiertas) puede recibir del mazo 1.326 posibles combinaciones distintas formadas entre las 52 cartas que lo componen (52×51/1×2 = 2.652÷2 = 1.326), y si ese jugador está interesado en saber si puede recibir en esas dos primeras cartas cubiertas una pareja de ases, entonces el subconjunto A de los eventos favorables posibles queda conformado por los siguientes 6 eventos: A = {(A,A), (A,A♣), (A,A♠), (A,A♣), (A,A♠), (A♣,A♠)}. Si el referido jugador desea conocer las probabilidades que existen para recibir una pareja de ases en las dos primeras pocket cards que le son entregadas en una partida, al aplicar la fórmula obtiene la siguiente operación: P = 6 eventos favorables/1.326 eventos posibles; es decir, P = 6/1.326, que arroja como valor: P = 0,0045248; lo que indica que la probabilidad es sumamente baja, ya que en términos porcentuales equivale a que el jugador sólo cuenta con 0,45248% de probabilidades a favor de recibir una pareja de ases en las pocket cards que le son entregadas en una partida, contra 99,54752% de probabilidades existentes de recibir cualquier otra combinación distinta a una pareja de ases en las pocket cards (q = 1−6/1.326 = 1−0,0045248 = 0,9954752).

Sabemos que en las pocket cards la formación de una pareja de ases implica un subconjunto A conformado por 6 combinaciones posibles favorables que ocurren entre los 4 ases, pero dado que en un mazo de 52 cartas cada palo está conformado por 13 cartas con figuras distintas, entonces se puede afirmar que el total de combinaciones para formar parejas entre todas esas 13 figuras al combinar con las figuras similares de los otros palos asciende a 78 combinaciones posibles (13 figuras×6 combinaciones = 78). Con el anterior dato, si un jugador desea conocer las probabilidades existentes de recibir cualquier tipo de pareja en las pocket cards frente a las 1.326 posibles combinaciones que existen entre dos cartas, basta aplicar la fórmula: P = 78 eventos favorables/1.326 eventos posibles; es decir, P = 78/1.326, lo que arroja como valor: P = 0,058823; valor que en términos porcentuales equivale a que el jugador tiene 5,8823% de probabilidades de recibir cualquier tipo de pareja en las pocket cards, contra 94,1177% de probabilidades de recibir combinaciones de cartas que no son una pareja. Los anteriores datos indican por qué motivo es tan codiciada entre los jugadores de póquer la aparición de una pareja de ases o de cualquier otra pareja formada con las dos pocket cards.

En el ejemplo de un jugador que ha recibido un 2♠ y un 3♠ en sus pocket cards y que tiene la ilusión de poder formar un full con las 3 cartas comunitarias que aparecerán en el Flop, sabemos que se enfrenta a un conjunto Ω formado por 19.600 posibles combinaciones desconocidas de las tres cartas que pueden aparecer en el Flop (50×49×48/1×2×3 = 117.600/6 = 19.600), y que sólo existen 18 combinaciones favorables de las tres cartas del Flop que de forma inmediata le permiten formar un full con el 2♠ y el 3♠ que ya tiene en su poder: A = {(2,2,3), (2,2,3), (2,2,3♣), (2,2♣,3), (2,2♣,3), (2,2♣,3♣), (2,2♣,3), (2,2♣,3), (2,2♣,3♣), (3,3,2), (3,3,2), (3,3,2♣), (3,3♣,2), (3,3♣,2), (3,3♣,2♣), (3,3♣,2), (3,3♣,2), (3,3♣,2♣)}. Si ese mismo jugador desea conocer cuáles son las probabilidades que tienen esas 18 posibles combinaciones favorables de aparecer a la primera en las tres cartas comunitarias del Flop, al aplicar la fórmula obtiene esta operación: P = 18 eventos favorables/19.600 eventos posibles; es decir, P = 18/19.600, lo que arroja como resultado: P = 0,00091836; valor que indica que en este caso las probabilidades de formar inmediatamente el full con las tres cartas del Flop son sumamente bajas, pues en términos porcentuales equivale a que el jugador solo tiene 0,091836% de probabilidades a favor de su intención (0,00091836×100), contra 99,90816% de probabilidades desfavorables (100−0,091836 = 99,90816).

En el mismo ejemplo, si un jugador A1 recibió en las pocket cards un 2♠ y un 3♠, y otro jugador rival A2 en las pocket cards recibió un 2 y un 3, entonces varía totalmente el escenario probabilista para el jugador A1, pues en este caso se reduce el tamaño del conjunto Ω porque a su vez se reduce el número de posibles combinaciones que pueden ocurrir entre las 3 cartas comunitarias que pueden aparecer en el Flop, debido a que el número de cartas que quedan en el mazo se ha reducido a 48 (descontando de las 52 cartas del mazo las 4 cartas que ya fueron entregadas al jugador A1 y al jugador A2), y por lo tanto en este caso el jugador A1 se enfrenta a un conjunto Ω conformado por 17.296 posibles combinaciones desconocidas de las 3 cartas que pueden aparecer en el Flop (48×47×46/1×2×3 = 103.776/6 = 17.296), pero además se reduce el número de las posibles combinaciones favorables de las tres cartas que aparecerán en el Flop y que le permiten formar de manera inmediata un full con el 2♠ y el 3♠ que ya tiene en su poder, pues en tal caso ese subconjunto de combinaciones favorables queda conformado sólo por estas 4 opciones: A = {(2,2♣,3), (2,2♣,3♣), (3,3♣,2), (3,3♣,2♣)}. En este caso los probabilidades existentes para el jugador A1 de formar inmediatamente un full con las tres cartas que aparecerán en el Flop se establece mediante esta operación: P = 4 eventos favorables/17.296 eventos posibles; es decir, P = 4/17.296, que arroja el siguiente resultado: P = 0,00023126; valor que indica que es prácticamente improbable formar de inmediato el full, pues el jugador A1 sólo cuenta con un 0,023126% de probabilidades a favor, contra 99,976874% de probabilidades desfavorables.

En síntesis, en todo tipo de juego de azar el Valor de la Probabilidad permite deducir las razones matemáticas para creer que un solo Evento puede o no ocurrir.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

Tijms, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Craps; Event; Gaming Mathematics; Probability Theory; Roulette; Sample Space; Set; Subset; Theory of Probability

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