EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

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[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
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USO DE EXCEL PARA CALCULAR PERMUTACIONES EN JUEGOS DE AZAR.

Cómo usar la función «PERMUTACIONES» de la hoja de cálculo Excel:

Cuando se trata del cálculo de Permutaciones lo relevante es el orden que pueden ocupar entre sí los elementos de un Espacio de Eventos cuando son tomados aleatoriamente de ese conjunto, tal como se vio en la sección anterior de esta obra, y por eso la fórmula que se aplica para calcular las permutaciones es:

nPr =   n × (n − 1) × (n − 2) × (n −3)  …  (n − r + 1)  =

n!

 

(n − r)!

Aunque esta fórmula es muy fácil de aplicar, en ciertos casos su resolución se puede volver compleja y tediosa, en especial cuando n tiene un valor muy alto y resulta necesario calcular su factorial (n!) para poder avanzar al resultado final. Por fortuna, todos estos cálculos tediosos ahora se pueden realizar de forma rápida mediante la hoja de cálculo de Excel de Microsoft, y así se puede constatar cuán grande es la Variabilidad que rige el comportamiento aleatorio de los resultados de los juegos de azar y que impide el pronóstico preciso de una determinada secuencia de resultados esperados que quizá nunca ocurra o que tal vez nunca se repita de nuevo siguiendo el mismo orden de una permutación ya ocurrida.

Descifrar un PIN calculando permutaciones.

Supongamos que un sujeto muy desesperado, cansado de perder mucho dinero en los juegos de azar de los casinos, ha decidido robar uno, y clandestinamente ha llegado hasta la bóveda de seguridad del casino donde sabe que hay millones de dólares guardados. Para abrir la bóveda primero hay que ingresar en el teclado una clave o PIN que está formada por 5 letras escogidas de las 26 letras que conforman el alfabeto occidental, sin repetir ninguna letra dentro de la clave. ¿Cuántas permutaciones posibles formadas por 5 letras tomadas de las 26 disponibles necesita ensayar el ladrón para encontrar la clave exacta que abre la bóveda de caudales? La respuesta se puede obtener aplicando la fórmula 26P5 para calcular las posibles permutaciones, pero usando la hoja de cálculo de Excel la respuesta se logra rápidamente como se señala a continuación:

Cálculo de permutaciones usando Excel.

Hoja de Cálculo Excel y Permutaciones.

En primer lugar, el cursor es posicionado en cualquier celda vacía y en la pestaña «Insertar» se elige «Insertar función». En la ventana que automáticamente se abre se selecciona la categoría de las funciones «Estadísticas», y dentro del listado de las posibles funciones de esa categoría se elige PERMUTACIONES. En la nueva ventana que automáticamente se abre se introduce el número 26 en la casilla de «Número», casilla que corresponde justamente a la cantidad total de elementos que conforman el Espacio de Eventos posibles, es decir, en nuestro ejemplo la cifra corresponde a las 26 letras del alfabeto occidental localizadas en las teclas del sistema de seguridad de la bóveda del casino. En la casilla «Tamaño» se introduce el número 5, que justamente corresponde a la cantidad de elementos que en cada ocasión son seleccionados del conjunto mayor para proceder a su permutación. Esto automáticamente arroja como resultado que existen 7.893.600 claves posibles formadas por 5 letras, sin repetir letra dentro de la clave, tomadas de un grupo de 26 letras posibles, y de esas 7.893.600 claves sólo una clave sirve para acceder a los millones de dólares que hay detrás de la puerta de la bóveda del casino. Habría que decir que el ladrón de este ejemplo sería muy, pero muy afortunado, si acertara a la clave con tan sólo probar las primeras 10, 300, 500 ó 1.000 claves posibles. En verdad, si las 7.893.600 claves posibles pudieran ser probadas a la velocidad del rayo, a razón de una clave cada segundo, entonces el ladrón para probarlas todas necesitaría en total 7.893.600 segundos, los cuales equivalen a 131.560 minutos, que a su vez corresponden a 2.192 horas, que finalmente representan 91 días de trabajo seguido probando claves sin descansar (nunca se puede descartar la posibilidad de que justo la última clave probada sea la que abra la bóveda). Es casi seguro que el ladrón puede ser descubierto por el personal del casino antes de lograr identificar la clave correcta de la bóveda.

Ejemplos del cálculo de Permutaciones con Excel en algunos Juegos de Azar:

Permutaciones al mezclar una mazo de cartas en póquer.

Como se observa en la anterior gráfica, usando la hoja de cálculo de Excel se puede calcular la cantidad total de Permutaciones que pueden formar entre sí las 52 cartas de un mazo cada vez que son barajadas aleatoriamente por ejemplo en un juego de póquer Texas Hold'em, es decir, se pueden calcular las múltiples formas en el orden de aparición que pueden ocupar las 52 cartas cada vez que son barajadas, lo cual corresponde a la fórmula 52P52. Usando la función PERMUTACIONES basta incluir en la casilla de «Número» la cantidad de elementos que conforman el conjunto permutable, es decir, las 52 cartas del mazo, y en la casilla «Tamaño» también se incluye esa misma cifra porque lo que se pretende calcular en este caso es la cantidad de posiciones aleatorias que pueden ocupar entre sí las 52 cartas dentro del orden del mazo cuando son barajadas, lo cual arroja una cifra realmente astronómica conformada por 68 dígitos a la cual nos referimos más adelante.

Permutaciones en resultados del Keno.

En la anterior gráfica se observa que usando la función PERMUTACIONES se ha calculado la fórmula 80P80, que corresponde a la cantidad de permutaciones que pueden ocurrir en el orden de extracción de las 80 balotas numeradas que normalmente son usadas en la urna del juego del Keno. Se observa que la cantidad de posibles permutaciones que pueden ocurrir en el orden de extracción de las 80 balotas cada vez que se juega un sorteo de Keno es una cifra astronómica, conformada por 119 dígitos, cifra a la cual también nos referimos más adelante.

Cálculo de factoriales con Excel.

Muchas veces en el cálculo de las permutaciones es necesario emplear factoriales completos (n!), especialmente cuando en la fórmula nPr se observa que la n es exactamente igual a la r, tal como ocurre cuando se calcula 52P52 que corresponde al número de permutaciones entre las 52 cartas de un mazo cada vez que son barajadas entre sí. Como lo muestran las anteriores gráficas, en este tipo de casos se puede usar la hoja de cálculo de Excel ingresando a la categoría de las funciones «Matemáticas y trigonométricas», y en el listado respectivo se selecciona la función FACT que sirve para calcular factoriales. En la ventana que automáticamente se abre aparece una sola casilla para introducir el número al que se le quiere calcular el factorial. Al introducir el número 52 en esa casilla se observa que el resultado que aparece del factorial (52!) es el mismo que se obtiene cuando se calcula 52P52 usando la función PERMUTACIONES, una cifra astronómica como ya lo mencioné.

Elevación a la potencia usando Excel.

Excel y permutaciones de resultados en la ruleta francesa.

A veces en otros cálculos de permutaciones en las que los elementos pueden repetirse en cada ocasión de forma aleatoria puede resultar necesario elevar a una potencia determinada los elementos que son permutables entre sí, como ocurre cuando se calcula de cuántas formas posibles podrían aparecer los 37 números de la ruleta francesa dentro de una tanda de 37 lanzamientos de la bola teniendo en cuenta que en cada lanzamiento cualquiera de esos números puede repetirse aleatoriamente, caso en el cual la respuesta se obtiene como el cálculo de la potencia 3737 que implica multiplicar el número 37 por sí mismo en una operación conformada por 37 veces esa cifra. Como se observa en las anteriores gráficas, la hoja de cálculo en la misma categoría de las funciones «Matemáticas y trigonométricas» incluye la función POTENCIA que sirve para realizar este tipo de cálculo, para lo cual basta introducir en la casilla «Número» el guarismo que va a ser elevado a la potencia, que en el ejemplo corresponde a las 37 casillas numeradas de la ruleta francesa, y en la casilla «Potencia» se introduce la cantidad de veces que la anterior cifra debe repetirse multiplicándose por sí misma, que en el ejemplo comentado corresponde a los 37 lanzamientos de la bola en la ruleta. Nuevamente se obtiene una cifra astronómica sobre las múltiples formas como pueden aparecer los 37 números de la ruleta francesa a lo largo de 37 lanzamientos de la bola.

Permutaciones en juegos de azar calculadas con Excel.

En la anterior gráfica se observan algunas cifras comparativas que permiten formar una idea sobre el gran poder de la Variabilidad que rige en la aparición aleatoria de los resultados que pueden producir ciertos juegos de azar. En la primera fila está el resultado del cálculo de la fórmula 80P80 (equivalente al factorial 80!) que corresponde a la cantidad de permutaciones posibles que pueden formar entre sí las 80 balotas numeradas del Keno cuando son extraídas de la urna cada vez que se realiza un nuevo sorteo. La segunda fila muestra el resultado del cálculo de la fórmula 75P75 (equivalente al factorial 75!) que corresponde a la cantidad de permutaciones posibles que pueden formar entre sí las 75 balotas numeradas que son usadas en el juego del Bingo cada vez que son extraídas de la urna. La tercera fila muestra el resultado de la fórmula 52P52 (equivalente al factorial 52!) que corresponde a la cantidad de permutaciones posibles que pueden formar entre sí las 52 cartas de un mazo de baraja inglesa cada vez que son barajadas para un juego de póquer. La cuarta fila muestra el resultado de calcular la potencia 3737 que corresponde a la cantidad de formas posibles como pueden aparecer aleatoriamente los 37 números de la ruleta francesa a lo largo de una tanda de 37 lanzamientos de la bola teniendo en cuenta la posible repetición de cualquiera de esos números en cualquier lanzamiento. Y la quinta fila muestra la última cantidad calculada de las galaxias visibles según las observaciones más avanzadas realizadas por el telescopio espacial Hubble, cantidad que corresponde a la potencia 1011.

La Variabilidad implica que unos cuantos elementos que conforman un Espacio de Eventos pueden aparecer de forma aleatoria asumiendo cantidades astronómicas de posibles permutaciones entre sí, y por tanto, ante tamaña cantidad de posibles permutaciones, resulta prácticamente improbable «predecir» con exactitud cuál será la secuencia de resultados que deberá ocurrir en la aparición de los resultados durante una tanda de juego, o esperar que una serie de resultados que ocurrió en el pasado se repita de la misma idéntica forma en las jugadas futuras. Es por ese motivo que grandes matemáticos como Pascal, Fermat, Bernoulli, Huygens, Laplace, Gauss, etc., sólo usaban las probabilidades como una forma para calcular las «expectativas» de ganancia o de pérdida frente a una determinada situación del juego, pero no como un método milagroso para pronosticar con exactitud los resultados del futuro como si se tratara del Oráculo de Tebas.

Incluso el matemático Karl Pearson (1857−1936) fue bastante enfático sobre este punto, cuando alguna vez analizó un listado de las secuencias de los resultados que habían aparecido durante 15 días seguidos en las ruletas del casino de Monte Carlo, y al respecto escribió un ensayo titulado Science and Monte Carlo en el cual afirmó que: «Si las ruletas de Monte Carlo hubieran estado funcionando desde los comienzos de las primeras eras geológicas de la Tierra, nosotros no deberíamos abrigar la más mínima expectativa de que la secuencia de resultados aparecidos en esta quincena haya ocurrido de la misma idéntica forma más de una vez, suponiendo que el juego es totalmente aleatorio.». Y no le faltaba razón a Pearson, porque en una tanda de 37 lanzamientos de la bola en la ruleta los 37 números pueden aparecer asumiendo entre sí diferentes secuencias en el orden de aparición, secuencias cuya cantidad es equivalente a calcular la potencia 3737 cuyo resultado realmente es astronómico como se observa en la anterior gráfica, de tal forma que si incluso una ruleta francesa hubiera estado funcionando perpetuamente desde antes de ocurrir el Big Bang, no hay esperanza de que dentro de ese enorme listado de resultados se observe que una misma secuencia de 37 resultados aparecidos se haya repetido de idéntica manera alguna vez.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

HALD, Anders. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930.  John Wiley & Sons, New York, 1998.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

Tijms, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Arrangement; Excel; Factorial; Gaming Mathematics; Permutations; Probability Theory; Sample Space; Theory of Probability

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