EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

LOS GRANDES MATEMÁTICOS FRANCESES Y LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

Las cavilaciones y las investigaciones sobre la verdadera imagen ideal del universo, sobre la influencia del azar en la marcha del orden natural, siguieron ocupando la mente de los nuevos pensadores a lo largo del siglo XVII. Pero ahora el foco para el surgimiento de las nuevas ideas se desplazó hacia los territorios de Francia rindiendo grandes frutos para la ciencia, nación en la cual el protestantismo ganó bastante terreno después de una fuerte lucha contra los grupos católicos, hasta el punto de que el rey Enrique IV en 1598 tuvo que promulgar el Edicto de Nantes para garantizar la convivencia pacífica entre las facciones católicas y protestantes y evitar así una división del país, pero de este modo el resquebrajado poder del clero católico facilitó la divulgación de la labor científica de los más grandes librepensadores franceses del siglo XVII.

Aportes de René Descartes al Desarrollo de las Matemáticas y la Ciencia:

En efecto, se observa que el filósofo y matemático francés René Descartes (1596−1650), a lo largo de su agitada existencia viviendo transitoriamente entre París, Franeker, Ámsterdam, Deventer, Utrecht, etc., tuvo la oportunidad de formular las bases de la «geometría analítica», es decir, la geometría que supone que cada punto del espacio (plano o tridimensional) puede ser determinado exactamente por un conjunto de números o coordenadas que permiten conocer con precisión su posición, todo lo cual además puede ser representado mediante las gráficas del conocido «plano cartesiano de coordenadas». La geometría analítica de Descartes permitió que los resultados de las funciones y ecuaciones de la aritmética y del álgebra se pudieran graficar en los planos de coordenadas mediante puntos que al ser unidos formaban líneas rectas, quebradas o curvas, todo lo cual era una gran herramienta para estudiar las propiedades de las diversas figuras geométricas y tratar de desentrañar así cuál o cuáles de ellas le daban sentido armónico al funcionamiento del sistema planetario y al funcionamiento del orden natural. Pero además esta forma de graficación de los valores numéricos también permitió que se comenzara a hablar de otros importantes conceptos matemáticos tales como los vectores, las constantes, los incrementos o descensos en una cantidad, las tendencias, los avances o las regresiones en el espacio y el ajuste o desviación de un conjunto de datos analizados respecto de una ley, todo lo cual resultó fundamental para el posterior desarrollo de la Teoría de la Probabilidad. 

Retrato de Rene Decartes, (pintura de Frans Hals, 1648).
Plano cartesiano.

René Descartes contribuyó de forma trascendental al desarrollo de las matemáticas al proponer el uso del denominado «plano cartesiano» para la representación de la posición exacta que ocupa cada punto en el espacio según las coordenadas que lo ubican dentro de un espacio infinito que toma como referente el eje X y el eje Y en cuya intersección se forma el punto de origen cero (0), graficación que a la postre sirvió para unir mediante líneas diversos puntos ubicados en el espacio representando así los resultados de las distintas ecuaciones y operaciones de la aritmética, del álgebra y del cálculo, todo lo cual permitía demostrar y observar a simple vista las tendencias, las regresiones, los incrementos, los descensos o las constantes que se producen en el mundo ideal de las matemáticas.

Descartes también era partidario del sistema heliocéntrico propuesto por Copérnico, pero al ver lo que había ocurrido con la condena inquisitorial contra Galileo por apoyar tal sistema, Descartes prefirió mantener bajo reserva sus opiniones sobre la forma del universo, y se dedicó a buscar la manera de probar desde el punto de vista de la lógica y la matemáticas la existencia de Dios, lo cual lo llevó a postular su célebre máxima: «Pienso, luego existo». Mediante esta máxima Descartes concluyó que el ser humano podía desconfiar de la veracidad de todas las cosas existentes en la realidad circundante que llegaban hasta su mente a través de los cinco sentidos, pero de lo único que no se podía dudar era de que en últimas el ser humano era un «ser pensante» que vivía elaborando siempre conclusiones sobre la realidad circundante, por consiguiente, la única explicación lógica para que el ser humano se comporte como un ser pensante es que Dios le comunica esa facultad de pensamiento a su alma, o lo que es lo mismo, se puede dudar de la veracidad de todo lo existente, menos de la existencia del ser pensante que habita en el alma humana de cada individuo creada por un ser superior que es Dios. Aunque el argumento de Descartes parece inclinarse por el misticismo clerical, en todo caso su método científico basado en la «duda metódica» sirvió para hacer un llamado de atención a todos los pensadores de su tiempo, en el sentido de que se debe hacer un alto en el camino y dudar de todas las imágenes ideales existentes sobre el universo construidas en el pasado, aceptando sólo aquéllas que estén debidamente soportadas por la reflexión, la lógica y las matemáticas.

Aportes de Roberval al Desarrollo de las Matemáticas:

Por su parte, Gilles Personne de Roberval (1602−1675), matemático francés que desde los 15 años de edad tuvo encarnizados debates intelectuales con sus contemporáneos y llegó a ser miembro distinguido de la Academia de Ciencias de París, también estuvo interesado en determinar las reglas para calcular la posición exacta de un punto cualquiera dentro de los distintos tipos de líneas curvas que posiblemente podían describir acertadamente el movimiento de la Tierra o de los planetas, investigación matemática que le sirvió para avalar la validez del sistema heliocéntrico propuesto un siglo atrás por Copérnico. Así, mediante procedimientos propios del «cálculo infinitesimal», Roberval ideó fórmulas para calcular la forma y la superficie de las cicloides, y por este camino llegó a descubrir que en algunas funciones del cálculo los valores de los puntos que unidos forman ciertas líneas curvas tienden a aproximarse a cero o se alejan de ese valor concentrándose dentro de ciertos límites, aporte que sería muy importante para el posterior desarrollo de la Teoría de la Probabilidad, porque desde entonces se comenzó a hablar de conceptos tales como la media o el promedio de un conjunto de datos, los límites de la agrupación de los resultados, los límites de la desviación de los resultados respecto de un valor medio, etc.  

Roberval en la inauguración de la Academia Francesa de Ciencias, (1666).
Balanza de Roberval.

Gilles Personne de Roberval es presentado por sus biógrafos como uno de los principales sabios de la Academia de Ciencias de París. Su capacidad y su talento que se manifestaron desde su adolescencia los dedicó al análisis de complejos problemas de las matemáticas y de la física, todos los cuales estaban vinculados a las grandes incógnitas sobre la construcción de la imagen ideal del universo: ¿es infinito el universo?, ¿existe el vacío?, ¿qué invisible sustancia llena el espacio entre los planetas?, ¿cuál es la forma exacta del movimiento de los planetas en torno del sol?, ¿qué extraña fuerza impulsa a los planetas a moverse?, ¿cómo se produce el equilibrio entre esas fuerzas?, ¿es posible construir mecanismos que tengan un movimiento perpetuo generado por sí mismos?, etc.

Roberval era partidario del sistema heliocéntrico propuesto por Copérnico, y con fundamento en sus propias investigaciones matemáticas llegó a formular la idea de que todas las partículas del universo conocido se agrupaban y formaban las cosas visibles por causa de alguna especie de fuerza que las atraía entre sí. La conocida «balanza de Roberval», inventada por él, es una aplicación práctica de las conclusiones de sus varios estudios sobre el equilibrio de las fuerzas opuestas. El equilibrio de las fuerzas fue el referente para representar el comportamiento ideal no sólo de los fenómenos regulares sino también de los fenómenos aleatorios que ocurren en el orden natural, y por eso la noción del equilibrio es una idea que permanece en el trasfondo de las investigaciones realizadas por Roberval en el campo del cálculo infinitesimal, la física, el estudio de los movimientos complejos que surgen a partir de otros movimientos más simples, el cálculo de la ubicación de un punto en diversas líneas curvas, etc.

Aportes de Pierre de Fermat al Desarrollo de las Matemáticas y la Teoría de la Probabilidad:

Desde otro punto de vista, Pierre de Fermat (1601−1665), gran matemático y jurista francés, por vías distintas y sin conocer la obra de Descartes, también formuló los principios de la geometría analítica, la misma que aplicó para resolver problemas referentes al cálculo de la posición exacta de un punto cualquiera dentro de diversos tipos de líneas curvas, o la aplicó para solucionar problemas referentes al cálculo para encontrar el centro de gravedad de distintas figuras planas y figuras sólidas, investigaciones que a su vez lo llevaron a profundizar en las bases del cálculo infinitesimal (teoría de los límites respecto de cero) y en el «cálculo diferencial» (aplicable inicialmente a los puntos de las líneas tangentes), todo lo cual en últimas también estaba ligado a postular unos nuevos elementos matemáticos para comprender y asimilar la nueva imagen ideal de un universo en el cual la Tierra y todos los planetas se movían sobre el espacio sin un claro propósito pagano o divino. 

Retrato de Pierre de Fermat.

Pierre de Fermat ejerció varios años como jurista en el Parlamento de Toulouse. Como jurista Fermat también concedía gran importancia a la imagen ideal de la justicia, del equilibrio, de la equidad, de la compensación entre unas causas y unas consecuencias en el orden natural.

No resulta extraño que en su campo de investigación a Fermat le atrajeran problemas vinculados a la noción de equilibrio, tales como calcular la dispersión de los diversos resultados de ciertas ecuaciones respecto de cero (0), lo que lo llevó a profundizar en los fundamentos sobre los que descansa la denominada «teoría del límite central» que sería formulada siglos después, esto es, que los hechos fortuitos tienden a ocurrir concentrándose y equilibrándose en torno de un valor central. Estas ideas de Fermat están presentes en el enfoque clásico de la Teoría de la Probabilidad, ya que hacia 1654 la noción ideal del equilibrio equitativo fue usada por él, en consenso con Blaise Pascal, para ofrecer una solución al viejo «Problema de los Puntos», trabajo sobre el cual se sustentan los escritos e investigaciones posteriores que dieron forma y cuerpo a la Teoría de la Probabilidad.

Aportes de Blaise Pascal al Desarrollo de la Ciencia y la Teoría de la Probabilidad:

El gran genio matemático francés del siglo XVII, que durante su corta vida pudo recoger y sintetizar en la Teoría de la Probabilidad muchos de los aportes intelectuales propuestos por los anteriores matemáticos, fue Blaise Pascal (1623−1662). Pascal fue un niño prodigio con gran talento para las matemáticas, que tuvo la suerte de ser educado tempranamente por su propio padre que era un gran aficionado a las matemáticas y que además trabajaba para la autoridad recaudadora de impuestos de Francia, de tal forma que gracias a esta formación educativa a la edad de 11 años Pascal escribió un pequeño tratado sobre los sonidos de los cuerpos que vibraban y también por vías propias probó matemáticamente la proposición No. 32 de Euclides en el sentido de que los ángulos de un triángulo siempre sumaban dos ángulos rectos.

Retrato de Blaise Pascal.

Después Pascal profundizó en la geometría euclidiana, y a la edad de 13 años pudo asistir a las cátedras de los grandes matemáticos de su época como Roberval, Desargues, Mydorge, Gassendi y Descartes, lo cual le permitió adentrarse en las teorías de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal. A los 16 años de edad Pascal escribió un profundo ensayo sobre las secciones cónicas, especulando sobre los fundamentos de lo que luego sería conocido como la «geometría proyectiva».

A los 19 años de edad, con el fin de ayudar a su padre en la tediosa labor de conciliar las cuentas que tenía que llevar como recaudador de impuestos, Pascal inventó y construyó un aparato mecánico para sumar y restar en pocos segundos, aparato que fue conocido como la «Pascalina» (1642), invento éste que no fue producido masivamente debido a la oposición del gremio de escribanos y de contables de la época que prefirieron defender la realización de su oficio por los medios tradicionales.

Pascalina, (en el Musée des Arts et Métiers, París).

Blaise Pascal es sin lugar a dudas el principal coloso francés de las matemáticas y de la ciencia del siglo XVII, por la gran cantidad de problemas que planteó y resolvió durante su corta vida en los campos de las matemáticas, la geometría, la física, la mecánica, la astronomía, la filosofía y la teología. Incluso su nombre siempre aparece vinculado a los inicios de la computación, debido a que inventó y construyó la denominada «pascalina», una de las primeras máquinas para realizar automáticamente operaciones matemáticas. Leonardo da Vinci ya había elaborado planos para lo que parece ser una máquina de varias ruedas dentadas diseñada para sumar o para por lo menos contar consecutivamente como lo hace el marcador de kilometraje de un automóvil. En el siglo XVII entre muchos contables y escribanos era común el uso del ábaco procedente de la China, el cual ya había sido estudiado en el pasado por Fibonacci (en su obra Liber abaci, 1202) y por Luca Pacioli que es considerado el padre de la contabilidad moderna (en su obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, 1494). Se conoce que en la ciudad de Tubinga (Alemania), hacia 1623 el alemán Wilhelm Schickard (1592−1635) construyó un primer aparato de ruedas dentadas y manivelas que servía para sumar, el cual al parecer no tuvo un funcionamiento preciso y no fue reparado por su creador, y por eso tal hecho histórico ha pasado desapercibido y sin importancia hasta nuestros días. 

Pascal, con tan sólo 19 años de edad, y sin conocer nada sobre los trabajos previos de Da Vinci o de Schickard, construyó en 1642 su Pascalina, la cual exteriormente tiene la apariencia de una caja de zapatos, mientras en su interior dispone de un ingenioso sistema de seis ruedas dentadas conectadas entre sí formando una cadena de transmisión, de tal forma que el giró completo de la primera rueda ubicada a la derecha del aparato automáticamente hace avanzar un grado la segunda rueda ubicada a la izquierda, y a su vez el giro completo de esta segunda rueda hace avanzar un grado la tercera rueda ubicada a la izquierda, y así sucesivamente, ya que de derecha a izquierda cada rueda dentada en su orden representa a las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de mil, las decenas de mil y las centenas de mil. Es decir, el giro completo de la primera rueda de la derecha del aparato que representa a las unidades equivale a contar de 0 a 9, y por eso al concluir el giro y quedar nuevamente en la posición del 0 entonces automáticamente la rueda de la izquierda que corresponde a las decenas avanza un grado de 0 a 1 para que así el resultado representado por las dos ruedas sea 10. En la parte exterior la pascalina dispone de 6 manivelas giratorias, cada una segmentada en 10 partes numeradas desde el 0 hasta el 9, que son usadas para representar una a una las cantidades que son sumadas o restadas, disposición que permite realizar sumas o restas con cifras ubicadas entre 000.001 y 999.999.

El usuario de la Pascalina debía señalar en las manivelas exteriores la primera cifra de la operación, haciéndolas girar hasta la posición adecuada, lo cual ocasionaba que las ruedas dentadas del interior de la caja también giraran simultáneamente hasta quedar colocadas en posición, y luego, dependiendo de si se trataba de una resta o de una suma, el usuario hacía girar las manivelas en la dirección correspondiente para representar la siguiente cifra de la operación, lo cual arrojaba inmediatamente el resultado que aparecía representado por los números visibles en las rendijas de la parte superior del aparato: por ejemplo, si la primera cifra introducida era 000.015, y luego se sumaba la cifra 000.005, entonces la primera rueda dentada de la derecha giraba completa hasta señalar la posición 0, y ese giro a su vez ocasionaba que la segunda rueda ubicada a la izquierda avanzara un grado desde la cifra 1 a 2, con lo que el resultado final de la suma era 000.020. La Pascalina no fue popular en su momento, pero sin lugar a dudas los posteriores aparatos de cálculo basados en este diseño contribuyeron a reducir el tiempo que se requería para realizar ciertas operaciones muy complejas que permitían probar o rechazar determinadas teorías esbozadas en el campo de las matemáticas.

Posteriormente, Pascal se interesó por el estudio de la física o mecánica, en especial de la hidrodinámica, y así sentó las bases matemáticas que permiten comprender el concepto de vacío y el funcionamiento de la presión que ejercen la atmósfera o los fluidos líquidos sobre otros cuerpos, lo cual lo llevó a proponer un modelo de prensa hidráulica y a inventar la jeringuilla, la cual 3 siglos después durante la Revolución Industrial serviría de referente para el desarrollo de una serie de máquinas que funcionaban mediante la fuerza de la presión transmitida a través de émbolos o pistones hidráulicos y neumáticos. En los siguientes años Pascal se adentró en el estudio de los binomios, en la comprensión de diferentes figuras geométricas y también desarrolló el conocido «Triángulo de Pascal» que es usado para darle solución a los términos binomiales.

Al parecer Pascal desde los 18 años de edad sufría de una rara enfermedad nerviosa, la cual en 1647 se manifestó como un ataque que lo redujo temporalmente a la parálisis, y luego de recuperarse de esa afección, su carácter se volvió irascible, reservado, muy meditabundo, y también su salud paulatinamente se fue deteriorando. Esta experiencia muy cercana a la muerte, más el deterioro de su salud, y el posterior fallecimiento de su padre en 1651, ocasionaron que Pascal se inclinara por la reflexión filosófica y teológica siguiendo los postulados del jansenismo, doctrina cristiana iniciada en el monasterio de Port Royal por Cornelis Jansen Jansenio, quien se inspiraba en los escritos teológicos de San Agustín y predicaba que Dios en ciertas situaciones tenía el poder incluso de limitar o suprimir el libre albedrío de los hombres creyentes, de tal forma que únicamente aquéllos que practicaban la moral más austera podían en su mente ser «iluminados» por sabias decisiones provenientes directamente de Dios que los predestinaban hacia el éxito terrenal y la salvación espiritual. Durante este periodo contemplativo y espiritual de su vida, Pascal concluyó algunos trabajos sobre matemáticas, como su Traité du triangle arithmétique (1653) y su De l’esprit géométrique (1658), y además escribió dos extensos trabajos filosóficos sobre reflexiones teológicas y apología cristiana bajo la influencia de los dogmas del jansenismo, el primero de los cuales se tituló Lettres provinciales (1657) y el segundo fue titulado Pensées que quedó como una obra inconclusa debido al fallecimiento de Pascal en 1662.

Durante la última etapa de su vida Pascal literalmente fue absorbido por el misticismo clerical y por las doctrinas del jansenismo, y a menudo pasaba meses enteros enclaustrado por voluntad propia en el monasterio de Port Royal, en especial desde que en 1654 sufrió un accidente cuando su carruaje cayó de un puente a un caudaloso río, pero milagrosamente él sobrevivió porque el carruaje flotó mientras los caballos se hundían, experiencia que lo impresionó fuertemente, hasta el punto de que se afirma que en las noches Pascal tenía visiones o revelaciones divinas que lo impulsaron a seguir escribiendo sus pensamientos apologéticos y a adoptar una moral y unos hábitos de vida mucho más severos. Aún así, durante este tiempo Pascal siguió investigando diferentes problemas matemáticos tales como la posibilidad de crear mecanismos de movimiento perpetuo, el perfeccionamiento del péndulo o el análisis matemático de las cicloides que lo llevó a escribir un ensayo titulado Traité de la Roulette (1658), y además desde 1654 Pascal tuvo un interesante cruce de epístolas con el matemático Pierre de Fermat mediante las cuales, al abordar el viejo Probléme des Parties (Problema de los Puntos o Problema del Juego Interrumpido), dejaron sentadas las bases del enfoque clásico de la Teoría de la Probabilidad.

¿Por qué Pascal no es el inventor de la Ruleta Francesa?

Hacia 1657 Pascal sintió gran fascinación por el estudio de ciertas líneas curvas correspondientes a las cicloides, las epicicloides y las hipocicloides, tal vez porque buscaba determinar de qué manera tales figuras estaban vinculadas a la forma del movimiento que describían los planetas en torno del sol.

Pascal estudiando la cicloide (pequeña ruleta). Por Augustin Pajou, 1785, Louvre.

El escultor Augustin Pajou en 1785 esculpió esta imagen de Pascal, en la cual el genio está totalmente abstraído en la observación de una cicloide que tiene dibujada en su pizarra, escultura que se conserva en el Museo de Louvre.

Hipocicloide de estrella pentagonal.

Como lo he señalado antes, la definición de la forma ideal que regía al universo seguía siendo un problema existencial para muchos de los sabios del siglo XVII, pues aunque se conocía el sistema heliocéntrico propuesto por Copérnico, las leyes de las órbitas elípticas de los planetas propuestas por Kepler y las observaciones astronómicas a través del telescopio realizadas por Galileo, en todo caso muchos de los nuevos investigadores deseaban corroborar por sí mismos la nueva forma ideal del universo que se estaba construyendo en ese tiempo mediante los diversos aportes de todos.

Hacia 1657, cuando Pascal ya había sido absorbido por los dogmas del jansenismo, y después de dedicarse por casi 4 años a sus escritos de teología y de apologética, repentinamente en su mente resurgió el interés por penetrar de nuevo en los problemas de la geometría, en especial por penetrar en el estudio de las líneas curvas derivadas de las cicloides, las epicicloides y las hipocicloides.

Esas líneas curvas quizá podían representar la imagen ideal del perfecto universo creado por el Gran Hacedor, y hacer especulaciones sobre tal imagen ideal del universo es un capítulo fundamental dentro de todo tipo de reflexiones apologéticas o teológicas. Quizá las regresiones en la trayectoria de los planetas se explicaban porque éstos no se movían en torno del sol describiendo círculos perfectos, ni elipses, sino otra serie de figuras geométricas, posiblemente la de la estrella pentagonal tan admirada desde la Antigüedad por los pitagóricos, o tal vez otro tipo de figura geométrica mucho más compleja.

En aquel tiempo la figura de la cicloide ya era catalogada como la «Helena de la Geometría», pues no era más que una simple línea curva que en todo caso había ejercido gran fascinación en la mente de grandes pensadores y matemáticos como Nicolas de Cusa, Cardano, Galileo y Descartes, así como la legendaria Helena por su belleza había ejercido gran fascinación en griegos y troyanos. Se dice que en esos años Pascal construyó un mecanismo basado en una pequeña rueda giratoria con casillas numeradas ubicada dentro de otra rueda fija de mayor tamaño, y las usaba para estudiar matemáticamente las propiedades de las cicloides y las hipocicloides, en especial porque Pascal deseaba confirmar matemáticamente si las líneas curvas que la cicloide y la hipocicloide describen al girar en el espacio tienden a repetirse al pasar sobre unos mismos puntos o si en cada giro pasan sobre unos puntos diferentes, ya que en caso de ser cierto lo primero podría hablarse de equilibrio y de regularidad en el movimiento, mientras que de ser cierto lo segundo el movimiento siempre ocurriría pasando sobre nuevos puntos sin repetir hasta el infinito. Estas investigaciones de Pascal, realizadas usando ese pequeño mecanismo rotatorio, al parecer hacia 1658 le permitieron encontrar la solución matemática para el «problema de la cuadratura de la cicloide».

Se cuenta que entonces Pascal de forma anónima se hizo pasar por un rico mecenas y públicamente ofreció un cuantioso premio a quien le presentara una solución matemática al problema de la cuadratura de la cicloide, y ante esta convocatoria recibió las soluciones propuestas por el matemático inglés John Wallis, por el matemático holandés Christiaan Huygens, y por el matemático francés Christopher Wren, entre otros, y el mismo Pascal presentó su propia solución bajo el pseudónimo de «Amos D’Ettonville» expuesta en un corto ensayo titulado Traité de la roulette (Tratado de la pequeña rueda). Luego, Pascal anunció que la ganadora del concurso era obviamente la solución que desde antes de la convocatoria él mismo había descubierto, lo cual era confirmado por los desaciertos existentes en las soluciones propuestas por los demás grandes matemáticos de su época.

Esta historia real ha sido explotada por un sinnúmero de personas que, usando argumentos sin fundamentos históricos, afirman que Pascal fue «el inventor de la ruleta francesa» tal como la conocemos hoy en día, atribuyéndole incluso a él la distribución de los números y de los colores usados en el cilindro de la moderna ruleta, cuando realmente lo que usó Pascal para sus estudios sobre las cicloides fue un mecanismo basado en una pequeña rueda giratoria dentro de otra rueda mayor, como la que se observa en las diferentes imágenes ya señaladas al hablar de cicloides, epicicloides o hipocicloides.

Un Spirograph.

En la actualidad para obtener líneas similares a las descritas por las cicloides o por las hipocicloides no es necesario fabricar extrañas ruletas pequeñas como la que fabricó en su tiempo Pascal. Desde 1965 en las tiendas de artículos para oficina y artes gráficas se ofrece un aparato conocido como «Spirograph», inventado por el ingeniero inglés Denys Fisher. Este aparato se coloca sobre una hoja de papel y a continuación el usuario escoge alguna de las tres ruedas dentadas para ubicarla acoplada a los bordes de alguna de las dos circunferencias dentadas de la regla, y luego el usuario introduce la punta de un lápiz en alguno de los orificios de la rueda dentada y haciendo presión con el lápiz en una sola dirección logra que la rueda dentada comience a girar dentro de la circunferencia mayor mientras la punta del lápiz va plasmando en la hoja de papel la figura resultante. Al realizar un solo giro de la rueda dentada dentro de la circunferencia mayor se obtiene una línea curva básica similar a las hipocicloides, y entre más giros se realicen de la rueda entonces la línea básica se repite una y otra vez variando de posición, permitiendo obtener diversos tipos de figuras y tramas según el número de giros realizados.

Como al usar el Spirograph se pueden escoger hasta tres ruedas dentadas de distinto tamaño, también se puede escoger como marco cualquiera de las dos circunferencias dentadas de la regla que tienen diferente diámetro, y además la punta del lápiz se puede introducir en cualquiera de los varios orificios que cada rueda dentada tiene en torno de su centro, entonces al final se pueden dibujar centenares de figuras diferentes con este aparato dependiendo también del número de giros realizados por la rueda dentada dentro de la circunferencia mayor.

Dibujos realizados con un Spirograph.

Con el uso del Spirograph es posible dibujar una figura usando una de las ruedas dentadas y a continuación sobre la misma se puede trazar otra figura usando otro orificio de la misma rueda o usando otra rueda dentada de distinto tamaño. También es posible usar lápices de distintos colores para combinarlos en el dibujo de diferentes figuras, y hay quien puede usar simultáneamente varias puntas de lápiz de diferente color ubicadas en diferentes orificios de la misma rueda dentada, todo lo cual permite multiplicar la cantidad de figuras posibles que se pueden obtener usando este sencillo aparato.

Qué fácil resulta en la actualidad acercarse a la comprensión científica de la imagen que tienen las cicloides y las hipocicloides, cuando en tiempos de Pascal muchas de tales figuras tenían que ser concebidas y estudiadas en el mundo de la imaginación o en toscas pizarras.

FUENTES DE CONSULTA:

BASS, Thomas. The Eudaemonic Pie. Penguin, 1991.

KOYRE, Alexandre. Estudio de historia del pensamiento científico. Editorial Siglo XXI, Ciudad de México, 1978.

POPPER, Karl. Lógica de la investigación científica. Editorial Losada, Buenos Aires, 1976.

PROGRESS PUBLISHING Co. Roulette History, En: http://www.crapsdicecontrol.com/roulette_history.htm

VEGA-AMAYA, Oscar. Surgimiento de la teoría matemática de la probabilidad. En: Apuntes de historia de las matemáticas, Vol. 1, 2002. 

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Blaise Pascal; Calculus; Cartesian Coordinate System; Cycloid; Guilles de Roberval; Pascaline; Pascal’s Triangle; Pierre de Fermat; Rene Descartes; Scientific Revolution; Spirograph; Roulette; Theory of Probability.

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