EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]
[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

EL DESCUBRIMIENTO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE LA PROBABILIDAD: ABRAHAM DE MOIVRE.

Aportes Científicos de Abraham de Moivre:

El matemático Abraham de Moivre (1667−1754) nació en la región francesa de Champagne, descendiente de una familia protestante, por lo que gozó de una educación clásica, aunque también estudió matemáticas por su cuenta y profundizó en las obras de Huygens cuando sólo tenía 16 años de edad. Después de que el Edicto de Nantes fue revocado en 1685 por el rey Luis XIV para favorecer en Francia los privilegios del clero católico sobre los protestantes (hugonotes), entonces la familia Moivre tuvo que abandonar Francia y se trasladó a vivir a Inglaterra para evitar la persecución religiosa.

Allí, en Londres, Abraham de Moivre realizó importantes aportes teóricos en el campo de las series numéricas, en el cálculo infinitesimal, en las propuestas de nuevos métodos para resolver ecuaciones de varios grados, en la trigonometría y en el estudio de los factoriales y los logaritmos, también fue nombrado miembro de la Royal Society en 1697, y fue gran amigo de Edmond Halley y de Isaac Newton, hasta el punto de que cuando la opinión de Newton era solicitada por alguien para la solución de complejos problemas matemáticos, él le respondía al interrogador: «Le sugiero dirigirse a Mr. Abraham de Moivre, que conoce ese tema mejor que yo…».

Abraham de Moivre y la Distribución Normal de la Probabilidad.

En 1711 Abraham de Moivre publicó una obra titulada The doctrine of chances, en la cual analizó a profundidad el modelo ideal de la probabilidad frecuentista y equiprobable desarrollado según los trabajos de Pascal, Fermat y Huygens.

Posteriormente Abraham de Moivre siguió realizando estudios sobre la probabilidad frecuentista y también profundizó en el análisis del modelo de la distribución binomial de la probabilidad expuesto en la obra Ars conjectandi de Jacob Bernoulli.

Luego Abraham de Moivre vinculó estos estudios al cálculo de la forma como se distribuyen los resultados de la probabilidad dentro de una relación binomial expresada como (a+b)n cuando se emplean grandes valores para n y cuando todos los resultados obtenidos son tomados y analizados como si fueran una sola serie numérica que forma un conjunto. Este trabajo le permitió a Abraham de Moivre concluir que existe cierta forma de distribución de los resultados de la probabilidad dentro de una relación binomial, en la cual generalmente se observa como una constante que un gran porcentaje de los resultados obtenidos tiende a concentrarse hacia un valor medio o central de la serie, mientras que un menor porcentaje de los resultados obtenidos tiende a dispersarse y alejarse en cierta proporción respecto de ese valor medio.

De este modo, Moivre descubrió los fundamentos de lo que actualmente se conoce como la «Distribución Normal» de la probabilidad (inicialmente conocida como «Método de los Mínimos Cuadrados»), la cual generalmente es representada por una línea curva en forma de campana sobre un plano de coordenadas cartesianas, lo que significa que el mayor porcentaje de la serie de los posibles resultados aleatorios obtenidos dentro de una distribución de probabilidad frecuentista se concentran en torno de un valor medio que tiene una mayor probabilidad de ocurrencia que la correspondiente a los resultados más dispersos y más alejados de ese valor medio.

Abraham de Moivre en 1733 escribió el análisis y la demostración de su descubrimiento en un pequeño artículo cuyo título hacía referencia a la forma como se aproximaban los resultados de una distribución de la probabilidad dentro de una serie obtenida a partir del desarrollo de una expresión binomial del tipo (a+b)n, y luego en 1738 ese pequeño artículo fue incluido como un capítulo de la tercera edición de su obra The doctrine of chances. El descubrimiento de Abraham de Moivre era el más trascendental realizado hasta el momento en el campo de la Teoría de la Probabilidad y de la Estadística, ya que el concepto de Distribución Normal es fundamental para la comprensión y aplicación de otros importantes conceptos matemáticos que más adelante serían plenamente desarrollados por otros investigadores, tales como el de la Ley de los Grandes Números, la Media Poblacional, la Esperanza, la Varianza, la Desviación Típica, la Regularidad Estadística, la Teoría del Límite Central, los Intervalos de Confianza, los Tests de Corrección, las Variables Discretas y Continuas, etc. Sin embargo, por alguna extraña razón el descubrimiento de Abraham de Moivre, que en su obra The doctrine of chances aparecía mencionado solamente mediante unos cuantos corolarios en un capítulo que no era central, pasó varias décadas desapercibido sin que se le encontrara una clara aplicación práctica en las ciencias, hasta que su análisis y utilización fueron retomados a comienzos del siglo XIX en las obras de los matemáticos Adrien−Marie Legendre, Pierre−Simon Marqués de Laplace y Johann Karl Friedrich Gauss.

Abraham de Moivre profundizó bastante en el estudio de la Teoría de la Probabilidad, especialmente indagando la relación que tiene la probabilidad con los binomios, con la sucesión Fibonacci, con los factoriales y con los logaritmos, pero por alguna extraña razón sus contribuciones pasaron desapercibidas o posteriormente fueron perfeccionadas y atribuidas a otras personas. Así, al cruzar correspondencia con los miembros de la familia Bernoulli, él se interesó bastante por la denominada Distribución Binomial propuesta por Jacob Bernoulli, en cuyo cálculo es necesario usar factoriales. Un factorial de un número n se representa como n! y es el producto que se obtiene al multiplicar entre sí todos los números naturales de la serie que van en orden descendente desde n a 1. Así, el factorial de 4 se representa como 4!, y el resultado corresponde a la multiplicación de todos los números que van desde 4 a 1 así: 4×3×2×1 = 24. El factorial de 10 se representa como 10! y corresponde al producto de 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 = 3.628.800. Calcular un factorial se vuelve una tarea tediosa cuando n es demasiado grande respecto de 1 y no se dispone de una calculadora para agilizar la labor, como ocurre cuando se calcula 50! ó 85! ó 123!, factoriales que arrojan como resultado una cifra astronómica de muchos dígitos. Ante este problema Abraham de Moivre propuso fórmulas para tratar de llegar al valor aproximado de un factorial cuando n es demasiado grande, sin que sea necesario realizar una multiplicación tras otra multiplicación entre todos los números de la serie que en orden descendente van desde n a 1, fórmulas que luego fueron perfeccionadas por su colega James Stirling (1692−1770) gracias a un cruce de correspondencia entre ellos, y como resultado de esta labor surgió la denominada «Aproximación de Stirling» que se usa para calcular cualquier factorial tomando como referente el valor del número Pi (Π) y el valor de la base natural de los logaritmos. 

Abraham de Moivre también estudió a profundidad la sección áurea y los números de la denominada Sucesión Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., etc.) y propuso una fórmula para expresar cualquier número de esa sucesión tomando como base la extracción de la raíz cuadrada de 5, fórmula que posteriormente sería perfeccionada y divulgada por el matemático Jacques Binet a quien se le atribuyó su creación bajo la denominada «Fórmula de Binet». Abraham de Moivre también descubrió la Distribución Normal de la probabilidad y la línea curva en forma de campana que representa esa distribución en un plano de coordenadas cartesianas, y aunque él en 1738 expuso su descubrimiento en la tercera edición de su obra titulada The doctrine of chances, finalmente su descubrimiento sólo sería usado con fines prácticos casi 80 años después por Pierre−Simon Marqués de Laplace y por Karl Friedrich Gauss, y desde entonces la Distribución Normal es más conocida como «Distribución de Gauss» y la línea curva que la describe es denominada como la «Campana de Gauss» o la «Campana Gaussiana».

Al final de su vida Abraham de Moivre fue atacado por una muy extraña enfermedad que lo hacia quedar dormido y aletargado por periodos de tiempo cada vez más prolongados durante el día, de tal forma que él notó que cada día se quedaba dormido durante 15 minutos de más respecto del tiempo del día anterior antes de poder salir del letargo, y así, basado en el cálculo de estos incrementos en el tiempo del letargo, pronóstico que su muerte ocurriría justo el día en que él se quedara dormido por 24 horas seguidas, pues ese día no despertaría nunca jamás, lo cual efectivamente ocurrió según el pronóstico el 27 de noviembre de 1754, día en que falleció después de permanecer dormido durante 24 horas.

Revisión de los Supuestos Matemáticos de la Probabilidad Frecuentista: 

Abraham de Moivre sabía muy bien que el modelo ideal de la probabilidad propuesto por Fermat, Pascal, Huygens y Bernoulli era un modelo «frecuentista», que supone que todos los posibles resultados aleatorios son equiprobables y pueden ocurrir distribuyéndose simétricamente. Por tanto, bajo este modelo ideal es válido suponer que si se lanza al aire una moneda limpia (no trucada) durante 1.000 veces consecutivas, como cada lado de la moneda tiene la misma probabilidad de aparecer (1/2 para la cara y 1/2 para la cruz), entonces es de esperar que durante los 1.000 lanzamientos de la moneda la cara aparezca 500 veces (porque 1.000×1/2 = 1.000/2 = 500) y que la cruz también aparezca 500 veces (porque 1.000×1/2 = 1.000/2 = 500), pues ambas opciones tienen la misma probabilidad de aparecer, probabilidad la cual permanece constante sin importar la cantidad de lanzamientos que se realicen: si sólo se realizaran 200 lanzamientos de la moneda es de esperar que la cara aparezca 100 veces y que la cruz también aparezca 100 veces (porque: 200×1/2 = 100), y si se realizaran 600 lanzamientos de la moneda es de esperar que la cara aparezca 300 veces y que la cruz aparezca la misma cantidad (porque: 600×1/2 = 300).

Modelo de probabilidad frecuentista.

Precisamente, la anterior gráfica muestra la forma como la probabilidad de aparición de la cara (1/2) se mantiene constante sin importar el aumento en el número de lanzamientos de la moneda (desde 0 hasta 1.000 lanzamientos), y por tanto se observa que para 100 lanzamientos la cara debería aparecer 50 veces (100×1/2 = 50), y para 200 lanzamientos de la moneda la cara debería aparecer 100 veces (200×1/2 = 100), y para 300 lanzamientos la cara debe aparecer 150 veces (300×1/2 = 150), y así sucesivamente, manteniéndose constante la probabilidad como lo refleja la línea recta de color lila que une todos esos valores obtenidos.

Abraham de Moivre era consciente de que este modelo ideal de la probabilidad frecuentista en verdad no se daba siempre en el mundo real, pues cuando una moneda es lanzada 1.000 veces se observa que hay ocasiones en que la cara aparece menos de 500 veces, y en otras ocasiones aparece mucho más de 500 veces, es decir, generalmente la cara dentro de 1.000 lanzamientos de la moneda tiende a aparecer menos veces o más veces de las esperadas. 

Distribución Normal en el lanzamiento al aire de una moneda 1.000 veces.

Es posible que Abraham de Moivre haya realizado el experimento de lanzar al aire 1.000 veces seguidas una moneda anotando los resultados aparecidos, repitiendo el experimento una y otra vez en tandas de 1.000 lanzamientos, y quizá así observó que la cantidad de veces que aparece la cara no siempre corresponde a 500 veces, y que además existe cierta regularidad en cuanto a los límites máximos y mínimos de apariciones de la cara que se puede esperar que ocurran. El lector puede realizar el mismo experimento, lanzando una moneda al aire 1.000 veces, anotando los resultados aparecidos entre la cara y la cruz, y repitiendo esa tanda de 1.000 lanzamientos unas 50 ó 100 veces más, después de lo cual es posible que como resultado obtenga una gráfica semejante a la anterior, que es un histograma en el cual se observa que en la mayoría de las tandas de 1.000 lanzamientos la cara por defecto o por exceso tiende a aparecer muy cerca del 50% de los lanzamientos, es decir, dentro de los 1.000 lanzamientos la cara puede llegar a aparecer 470 veces (el 47%) o 483 veces (el 48,3%) o  495 veces (el 49,5%) o 515 veces (el 51,5%) o 532 veces (el 53,2%), mientras que es muy menor el número de tandas de 1.000 lanzamientos en que la cara aparece menos de un 45% de los 1.000 lanzamientos o más del 55% de los 1.000 lanzamientos.

Esto demuestra que existe la tendencia a que los posibles resultados aleatorios de un juego de azar se aproximen en mayor medida hacia un «Valor Central» entre más ensayos o jugadas se realicen, límite central que está determinado por la probabilidad respectiva de aparición de cada posible resultado, es decir, en el ejemplo de los 1.000 lanzamientos de la moneda el límite central de apariciones de la cara debería ser 500 veces porque su probabilidad individual de aparición es de 1/2 (por tanto 1.000×1/2 = 1.000/2 = 500), y hacia ese límite ideal parecen tender los resultados de los experimentos realizados. A contrario sensu, parece poco probable que el número de apariciones de la cara dentro de 1.000 lanzamientos de la moneda se aleje demasiado de ese límite central, es decir, es muy poco probable realizar una tanda de 1.000 lanzamientos de la moneda en que la cara sólo aparezca por defecto 50 veces, 150 veces, 270 veces o 320 veces, así como es muy poco probable realizar una tanda de 1.000 lanzamientos de la moneda en que la cara aparezca por exceso 700 veces, 820 veces, 900 veces o 950 veces.

El Método de los Mínimos Cuadrados y el Modelo de la Distribución Normal:

Abraham de Moivre en su corto artículo titulado A method of approximating the sum of the terms of the binomial (a+b)n expanded into a series, from whence are deduced some practical rules to estimate the degree of assent which is to be given to experiments, el cual luego fue incluido en la tercera edición de su obra The doctrine of chances (1738), analizó los límites que definían la forma de la línea curva que representa la manera como los resultados aleatorios ocurridos en varios ensayos tienden a concentrarse alrededor de un valor central, y este análisis le permitió adentrarse en la formulación del denominado «Método de los Mínimos Cuadrados» que es la base para la comprensión del modelo de la Distribución Normal de la probabilidad. 

Curva de la Distribución Normal frente a lo aleatorio.

Esta es la gráfica que mejor describe la forma que sigue la denominada Distribución Normal en un plano de coordenadas cartesianas. Es una curva en forma de campana cuyos valores se extienden a  lado y lado sobre el eje X de coordenadas sin llegar a coincidir nunca con el cero. La parte más alta de la campana corresponde al valor central hacia el cual debe presentarse la convergencia en el número de apariciones de los resultados aleatorios del juego, mientras que las partes más bajas de la campana que se extienden a lado y lado representan el número de apariciones de esos resultados que por defecto o por exceso se alejan paulatinamente del valor central. Si se toma en cuenta el ejemplo de los 1.000 lanzamientos de la moneda antes comentado, es evidente que esta línea curva en forma de campana representa claramente la tendencia observada en el histograma del número de apariciones de la cara que fue analizado más arriba. 

Límites de la Distribución Normal.

En sus análisis Abraham de Moivre calculó las distancias existentes entre los términos resultantes de una relación binomial de la probabilidad del tipo (1/2+1/2)n cuando n, que representa el número de ensayos realizados, adquiere un valor cada vez más elevado, y así concluyó en un primer corolario que cada término obtenido tiende a expandirse respecto del valor central (representado en la gráfica mediante la línea verde sobre el 0) siguiendo un patrón semejante a los términos de la serie hiperbólica de los logaritmos. A continuación, él concluyó en un segundo corolario que la gran mayoría de los resultados aleatorios obtenidos cuando se realizan varios ensayos tienden a dispersarse por defecto o por exceso respecto del valor central dentro de una distancia equivalente a 0,341344 (representado por la línea azul sobre −1 que indica las apariciones de la desviación por «defecto» respecto del valor central y por la línea azul sobre 1 que indica las apariciones de la desviación por «exceso» sobre el valor central). Y finalmente, Abraham de Moivre en un tercer corolario delimitó el tamaño de toda la zona donde se deben concentrar la mayoría de los resultados aleatorios obtenidos cuando se realizan varios ensayos, al afirmar que: «Y por consiguiente, si fuera posible realizar un número infinito de experimentos en el que un evento tiene un número igual de oportunidades para ocurrir o para fallar, entonces frecuentemente ese evento no aparecerá más allá de 1/2n+1/2√n veces, ni menos de 1/2n−1/2√n veces, área de aproximación que se puede expresar por la suma doble del valor obtenido en el segundo corolario, esto es:  0,341344 + 0,341344 = 0,682688…».

En otras palabras, a la luz de estos corolarios expuestos por Moivre, si una moneda es lanzada 1.000 veces al aire, y ese experimento se repite infinitamente, entonces se puede esperar que normalmente en la mayoría de esos ensayos (en el 68,26% de los ensayos) la cara o la cruz que tienen la misma probabilidad (1/2) no aparecerán menos de 484,19 veces [porque: 1/2n−1/2√n = (1/2×1.000)−(1/2×√1.000) = (1.000/2)−(1/2×31,62) = 500−15,81 = 484,19], ni aparecerán más allá de 515,81 veces [porque: 1/2n+1/2√n = (1/2×1.000)+(1/2×√1.000) = (1.000/2)+(1/2×31,62) = 500+15,81 = 515,81]. Claramente se observa que el valor por defecto (484,19) y el valor por exceso (515,81) que delimitan la zona de mayor concentración de los resultados aleatorios se alejan en una misma medida respecto del valor central que es 500 y que corresponde a la cantidad ideal esperada de apariciones que deberían tener la cara o la cruz dentro de los 1.000 lanzamientos de la moneda según su respectiva probabilidad individual de ocurrencia: 1.000×1/2 = 500. Si en el 68,26% de los ensayos la cara o la cruz deben aparecer entre 484,19 veces y 515,81 veces, entonces se concluye que sólo en el restante 31,74% de los ensayos la cara o la cruz aparecerán menos de 484,19 veces o más allá de 515,81 veces.

Por ese motivo este descubrimiento de Abraham de Moivre, que inicialmente a comienzos del siglo XIX sería conocido como el «Método de los Mínimos Cuadrados» para descubrir desviaciones respecto de un valor central, es el fundamento para comprender importantes conceptos usados en el cálculo de las probabilidades y en la estadística como el de la Media Poblacional, la Varianza, la Desviación Típica, la Regularidad Estadística, la Ley de los Grandes Números y el Teorema del Límite Central.

Aproximación a la Distribución Normal desde el Triángulo de Pascal:

La teoría de que los posibles resultados aleatorios de un juego de azar tienden a concentrarse en mayor medida en torno de un valor central dentro de ciertos límites según el «Método de los Cuadrados Medios» está implícitamente contenida dentro de los números de la Pirámide de Pascal.  

Triángulo de Pascal aplicado al azar.
Pirámide formada del Triángulo de Pascal.

En efecto, supongamos que el evento aleatorio es el lanzamiento de una moneda al aire y por tanto los posibles resultados son la cara (C) con una probabilidad de aparición equivalente a 1/2 y la cruz (C) también con una probabilidad de aparición equivalente a 1/2. Supongamos que se calculan las combinaciones totales que se pueden presentar entre la aparición de la cara y la aparición de la cruz y su respectiva probabilidad cuando sólo se hacen 6 lanzamientos de la moneda, caso en el cual el número total de las combinaciones posibles se obtiene de la sumatoria 6C0+6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6, que según el Triángulo de Pascal es equivalente a sumar 1+6+15+20+15+6+1 = 64 combinaciones. Esto indica por ejemplo que la cantidad de combinaciones en que dentro de 6 lanzamientos de la moneda sólo se obtiene 1 cara (6C1) son 6 de las 64 combinaciones posibles [(CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC)], y por tanto la probabilidad de sólo obtener 1 aparición de la cara dentro de 6 lanzamientos de la moneda es de 6/64 = 0,09375. Del mismo modo, la cantidad de combinaciones en que dentro de 6 lanzamientos de la moneda se obtienen 5 apariciones de la cara (6C5) son 6 de las 64 posibles [(CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC), (CCCCCC)], es decir, la probabilidad de obtener 5 veces la aparición de la cara dentro de los 6 lanzamientos es de 6/64 = 0,09375. En cambio, dentro de 6 lanzamientos de la moneda existen 20 combinaciones de las 64 posibles en las que se obtienen 3 apariciones de la cara (6C3), y por tanto la probabilidad de obtener 3 apariciones de la cara dentro de 6 lanzamientos de la moneda es de 20/64 = 0,3125, es decir, hay una mayor probabilidad de que al realizar 6 lanzamientos de la moneda se obtengan 3 apariciones de la cara (6C3) que surgen como la cantidad central esperada (porque: 1/2×6 lanzamientos = 6/2 = 3 apariciones), mientras que es menor la probabilidad existente para que dentro de los 6 lanzamientos de la moneda se obtenga por defecto 1 sola aparición de la cara (6C1) o se obtenga por exceso 5 apariciones de la cara (6C5). Esto se observa mejor en la siguiente tabla: 

Combinaciones posibles

Total de combinaciones

Probabilidad de cada combinación

Probabilidad en decimales

Probabilidad en porcentajes

Sector de mayor concentración

6C0

1

1/64

0,015625

1,56%

1,56%

6C1

6

6/64

0,093750

9,37%

9,37%

6C2

15

15/64

0,234375

23,43%

78,11%

6C3

20

20/64

0,312500

31,25%

6C4

15

15/64

0,234375

23,43%

6C5

6

6/64

0,093750

9,37%

9,37%

6C6

1

1/64

0,015625

1,56%

1,56%

TOTALES

64

64/64

1

100%

100%

Es fácil darse cuenta que la probabilidad indica que el 78,11% del número total de posibles combinaciones entre las apariciones de la cara y de la cruz dentro de 6 lanzamientos de la moneda tiende a concentrarse en mayor medida en torno de un valor central, lo cual se observa claramente en la siguiente gráfica:

Curva de la distribución de los resultados probables en 6 lanzamientos de una moneda.

Según esta gráfica que se aproxima a la forma de la campana de la Distribución Normal, existen mayores probabilidades de que cada vez que se realizan 6 lanzamientos de la moneda aparezcan más combinaciones entre la cara y la cruz del tipo 6C3 que equivale a lograr sólo 3 aciertos de la cara o de la cruz (valor central representado por la línea verde oliva que se extiende hasta la parte más alta de la campana), o que ocurran combinaciones muy próximas a ese valor central del tipo 6C2 por defecto (lograr 2 aciertos de la cara o la cruz) o del tipo 6C4 por exceso (lograr 4 aciertos de la cara o la cruz). En cambio, las combinaciones más extremas, como no lograr ni una sola aparición de la cara o de la cruz dentro de 6 lanzamientos de la moneda (6C0), o lograr 6 apariciones consecutivas de la cara o de la cruz dentro de los 6 lanzamientos de la moneda (6C6), son combinaciones improbables que por eso aparecen representadas en los extremos más distantes y bajos de la campana.

Ahora bien, si en el ejemplo ahora suponemos que el número de lanzamientos de la moneda se eleva esta vez a 15, entonces la cantidad de posibles combinaciones que pueden ocurrir entre la cara y la cruz dentro de 15 lanzamientos de la moneda se obtiene de la sumatoria: 

15C0+15C1+15C2+15C3+15C4+15C5+15C6+15C7+15C8+15C9+15C10+15C11+15C12+15C13+15C14+15C15 =

1+15+105+455+1.365+3.003+5.005+6.435+6.435+5.005+3.003+1.365+455+105+15+1 =  32.768

Es decir, pueden ocurrir 32.768 combinaciones diferentes en la aparición de cara y cruz a lo largo de 15 lanzamientos de la moneda. Y en este caso la probabilidad de ocurrencia de las diversas combinaciones también tiende a concentrarse en torno de un valor central, pues lo esperado es que la cara o la cruz según su respectiva probabilidad de ocurrencia sólo aparezca un número cercano a 7,5 veces (1/2×15 lanzamientos = 15/2 = 7,5 apariciones). En este caso la distribución de los valores obtenidos se observa en la siguiente tabla:

Combinaciones posibles

Total de combinaciones

Probabilidad de cada combinación

Probabilidad en decimales

Probabilidad en porcentajes

Sector de mayor concentración

15C0

1

1/32.768

0,00003052

0,003%

0,003%

15C1

15

15/32.768

0,00045776

0,045%

0,045%

15C2

105

105/32.768

0,00320435

0,3204%

0,3204%

15C3

455

455/32.768

0,01388550

1,3885%

1,3885%

15C4

1.365

1.365/32.768

0,04165649

4,1656%

4,1656%

15C5

3.003

3.003/32.768

0,09164429

9,1644%

9,1644%

15C6

5.005

5.005/32.768

0,15274048

15,274%

69,82%

15C7

6.435

6.435/32.768

0,19638062

19,638%

15C8

6.435

6.435/32.768

0,19638062

19,638%

15C9

5.005

5.005/32.768

0,15274048

15,274%

15C10

3.003

3.003/32.768

0,09164429

9,1644%

9,1644%

15C11

1.365

1.365/32.768

0,04165649

4,1656%

4,1656%

15C12

455

455/32.768

0,01388550

1,3885%

1,3885%

15C13

105

105/32.768

0,00320435

0,3204%

0,3204%

15C14

15

15/32.768

0,00045776

0,045%

0,045%

15C15

1

1/32.768

0,00003052

0,003%

0,003%

TOTALES

32.768

32.768/32.768

1

100%

100%

La probabilidad indica que el 69,82% del número total de posibles combinaciones entre las apariciones de la cara y de la cruz dentro de 15 lanzamientos de la moneda tiende a concentrarse en mayor medida en torno de un valor central, lo cual se observa claramente en la siguiente gráfica:

Curva de la distribución de los resultados probables en 15 lanzamientos de una moneda.

La gráfica muestra que existen mayores probabilidades de que cada vez que se realizan 15 lanzamientos de la moneda aparezcan más combinaciones entre la cara y la cruz del tipo 15C7 o 15C8 que equivalen a lograr entre 7 y 8 aciertos de la cara o de la cruz, en medio de los cuales se encuentra precisamente el valor de 7,5 aciertos que constituye el valor central de la campana (representado por la línea verde oliva que se extiende hasta la parte más alta de la campana). También se puede esperar que ocurran combinaciones muy próximas a ese valor central del tipo 15C6 por defecto (lograr 6 aciertos de la cara o la cruz) o del tipo 15C9 por exceso (lograr 9 aciertos de la cara o la cruz). En total, de las 32.768 combinaciones posibles que pueden ocurrir entre la cara y la cruz dentro de 15 lanzamientos de la moneda, hay 22.880 combinaciones que concentran el 69,82% de la probabilidad de ocurrencia en torno del valor central. En cambio, las combinaciones más extremas por defecto o por exceso, como no lograr ni una sola aparición de la cara o de la cruz dentro de los 15 lanzamientos de la moneda (15C0), o lograr 15 apariciones consecutivas de la cara o de la cruz dentro de los 15 lanzamientos de la moneda (15C15), son combinaciones improbables y muy alejadas del valor central. Entre más grande sea la cantidad de lanzamientos de la moneda se seguirá observando que la cantidad de posibles combinaciones que pueden ocurrir entre los dos resultados opuestos tiende a concentrarse en torno de un valor central, y el porcentaje ocupado por la concentración de esas combinaciones tiende a aproximarse a un valor similar al 68,26% que fue el valor calculado por Abraham de Moivre al usar el Método de los Mínimos Cuadrados para establecer los límites dentro de los cuales tienden a concentrarse los resultados aleatorios cuando la cantidad de lanzamientos o ensayos realizados es infinita. 

En síntesis, ya sea a la luz de la Distribución Normal de Moivre o a la luz de la Pirámide de Pascal, el lector no debe perder de vista que desde el enfoque matemático se puede probar que los resultados de los fenómenos aleatorios tienen ciertos límites de ocurrencia, pues al ocurrir repetidamente esos resultados se concentran y se dispersan de cierta manera más o menos ordenada o regular respecto de un valor central, siguiendo determinada «proporción» en esa concentración que no es propiamente una proporción simétrica (no es 1 a 1 ni es 50% a 50%), sino que todo indica que es una proporción asimétrica (68,26% a 31,74%).

FUENTES DE CONSULTA:

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadísticaP.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

HALD, Anders. A history of probability and statistics and their applications before 1750John Wiley & Sons, New Jersey, 2003

KOYRE, Alexandre. Estudio de historia del pensamiento científico. Editorial Siglo XXI, Ciudad de México, 1978.

TODHUNTER, Isaac. A history of the mathematical theory of probability. Chelsea Publishing Co., New York, 1965.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Abraham de Moivre; Binomial Theorem; Normal Distribution Curve; Standard Deviation; Stirling’s Approximation; Theory of Probability. 

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