EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

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LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Y LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS.

Influencia de la Ley de los Grandes Números en la Representatividad de las Muestras Estadísticas:

Los expertos en estadística desde siempre han recomendado que debe ser lo más amplia posible cualquier Muestra Estadística que sea seleccionada de una Población determinada, lo cual matemáticamente se traduce en tener en cuenta la aplicación estadística de la denominada «Ley de los Grandes Números».

Según la Ley de los Grandes Números, entendida desde la óptica meramente estadística, a medida que más amplia sea una Muestra Estadística seleccionada de los elementos que conforman una determinada Población estudiada, el promedio del valor de la información obtenida de esos elementos de la Muestra se acercará más y más al promedio del valor de la información que se obtendría de todos los elementos que conforman la Población completa, lo cual equivale a que siempre la Muestra Estadística más amplia será mucho más representativa de la tendencia promedio (o más común) que impera entre los elementos de la Población completa. En otras palabras, la Ley de los Grandes Números implica que el promedio de una Muestra Estadística conformada por un mayor número de elementos, tenderá a estar más cerca de la media de la Población completa estudiada.

Número de millonarios en el mundo.

Por ejemplo, si se hiciera una encuesta sobre un millón de individuos seleccionados aleatoriamente de diversas ciudades de los Estados Unidos para averiguar cuántos de ellos son millonarios (es decir, cuántos de ellos tienen un patrimonio personal valorado en más de un millón de dólares), se encontrará que el 1% de ese millón de individuos encuestados son verdaderos millonarios (es decir, solamente 10.000 por cada millón de habitantes), mientras que el restante 99% de los encuestados son personas de la clase media o de los estratos más pobres de la sociedad norteamericana.

En cambio, si la misma encuesta se realiza abarcando a los más de 6.000 millones de habitantes que actualmente tiene la Tierra, cifra demográfica que constantemente va en aumento, entonces se encontrará que solamente un 0,16% de los habitantes del mundo son verdaderos millonarios (1.666 por cada millón de habitantes), mientras que el restante 99,84% de los habitantes del mundo son personas de la clase media o de los estratos más pobres de la sociedad. En otras palabras, al tomar una muestra estadística más amplia se constata que sólo existen cerca de 10.000.000 de millonarios en todo el mundo, que controlan una riqueza equivalente a $39 trillones de dólares, y sólo 3 millones de todos esos millonarios viven en los Estados Unidos (según las cifras del World Wealth Report 2010 elaborado por las empresas de consultoría Merrill Lynch y Capgemini).

En otras palabras, si en este caso se toman muestras estadísticas cada vez más amplias de la población que habita en la Tierra, los resultados de esas muestras cada vez más amplias desvirtuarán la primera errónea conclusión según la cual en el mundo el 1% de los individuos son millonarios, conclusión la cual se basó en los datos aislados y parciales de una pequeña muestra conformada tan sólo por un millón de individuos habitantes de uno de los países más ricos como lo es Estados Unidos, ya que el porcentaje real de millonarios que hay en todo el mundo se reduce a un 0,16% de la población al tomar en consideración a todos los 6.000 millones de habitantes del planeta.

Ejemplo gráfico de la influencia de la Ley de los Grandes Números sobre una Muestra:

En otro ejemplo sobre la importancia de la Ley de los Grandes Números en la definición del tamaño adecuado de una Muestra Estadística, supongamos que un primer investigador muy meticuloso toma como referente el estudio de una pequeña Población conformada por 30 individuos que ganan al mes diferentes salarios, y con base en esa información el investigador logra calcular que el promedio de salarios de los individuos que conforman ese pequeño Universo estudiado es de $2.244,33 dólares al mes. 

Ley de los Grandes Números y Muestras Estadísticas.

Como lo muestra la gráfica superior, en el último ejemplo comentado el salario promedio que ganan los 30 individuos que conforman la pequeña Población estudiada es de $2.244,33 dólares, y ese valor equivale a la «Media» de la Población o Universo que fue analizado en su totalidad por el primer investigador.

Ley de los Grandes Números y Muestras Estadísticas.

Como se observa en esta gráfica superior, si un segundo investigador, que no conoce los salarios que ganan todos los individuos de la pequeña Población analizada, se conforma con tomar los datos de una Muestra Estadística integrada sólo por los primeros 7 individuos de la lista, obtendrá que el salario promedio que ellos ganan es de $3.050 dólares. El investigador podría concluir con base en esa información que los individuos de la Población completa tienen altos ingresos, pero tal conclusión no puede ser generalizada al resto de la Población analizada, pues la Muestra Estadística no es representativa. La Ley de los Grandes Números en este caso aconseja incluir más individuos en el tamaño de la Muestra para así aproximarse al verdadero promedio del salario que ganan todos los individuos que conforman esta Población, promedio que se encuentra ubicado en $2.244,33 como ya se mencionó.

Ley de los Grandes Números y Muestras Estadísticas.

En la anterior gráfica se observa que si un tercer investigador decide seleccionar una Muestra Estadística en la que incluye los primeros 15 individuos de la lista, es decir, la mitad de los individuos de la Población investigada, entonces se comienza a descubrir que no son tan pudientes los individuos de esa Población, pues en esta Muestra el promedio de los salarios ha bajado a $2.323,33 dólares, frente a los $3.050 dólares que arrojó la anterior Muestra conformada por los primeros 7 individuos de la lista.

Ley de los Grandes Números y Muestras Estadísticas.

Y finalmente, si un cuarto investigador decide tener en cuenta la Ley de los Grandes Números y selecciona una Muestra Estadística mucho mayor en la que incluye a 25 individuos de la lista, es decir, al 83.33% de los individuos de la Población analizada, entonces se observa que se reafirma la conclusión de que no es tan alto el salario promedio que ganan los individuos de esa Población, pues ahora con esta Muestra el promedio ha llegado a $2.241,2 dólares, acercándose cada vez más al promedio real de la totalidad de la Población que equivale a $2.244,33 dólares.

En consecuencia, si no se desea incurrir en conclusiones erróneas respecto de las reales tendencias que rigen dentro de una determinada Población investigada, entonces lo recomendable es seleccionar siempre Muestras Estadísticas suficientemente grandes para realizar el estudio, las cuales ofrecen un mayor grado de representatividad frente a las muestras de menor tamaño.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

FREUND, John, y otros. Estadística matemática con aplicaciones. Prentice Hall, 1987.

GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.

HINKELMANN, Klaus, y KEMPTHOME, Oscar. Design and analysis of experiments. Wiley, New York, 2008.

MERRILL LYNCH y CAPGEMINI. World wealth report 2010. En: http://www.capgemini.com

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Data Analysis; Data Collection; Descriptive Statistics; Law of Large Numbers; Millionaire; Probability Theory; Sample Space; Sampling; Sampling Error; Statistical Inference; Statistical Theory. 

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