EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

FRECUENCIA ABSOLUTA, FRECUENCIA RELATIVA Y REGULARIDAD ESTADÍSTICA.

Comprendiendo la Frecuencia Absoluta y la Frecuencia Relativa de los Juegos de Azar:

En una lista de resultados numéricos obtenidos de un juego de azar muchas veces es necesario determinar cuántas veces ocurre o se repite un determinado resultado sobre los demás, lo cual estadísticamente se puede lograr mediante la aplicación del Test de la Frecuencia de Repetición (Frequency Test) ya mencionado en la anterior sección que fue propuesto por Maurice Kendall y Bernard Babington Smith. Pero al momento de expresar en términos matemáticos los hallazgos empíricos descubiertos mediante la aplicación de ese test estadístico, entonces lo preferible es hablar de la «Frecuencia Absoluta» y de la «Frecuencia Relativa».

La Frecuencia Absoluta expresa el número de veces que en total aparece un determinado resultado dentro de una Muestra Estadística o dentro de una Población estudiada. En cambio, la Frecuencia Relativa es el cociente entre la Frecuencia Absoluta de un determinado resultado aparecido y la totalidad de resultados que conforman la Muestra Estadística estudiada. En otras palabras, la Frecuencia Relativa sirve para determinar cuál es el porcentaje de repetición de un determinado resultado frente a la totalidad de resultados que conforman la Muestra analizada. Tanto la Frecuencia Absoluta como la Frecuencia Relativa sirven para resumir y ordenar numéricamente (de menor a mayor) la totalidad de los diversos datos que conforman una Muestra Estadística estudiada, ordenación que se realiza precisamente teniendo en cuenta el valor de la Frecuencia de aparición que le corresponde a cada dato.

Por ejemplo, supongamos que la Muestra Estadística pacientemente recolectada por un jugador en una mesa de craps está conformada por una serie de 110 resultados numéricos que arrojó el lanzamiento de los dos dados sobre esa mesa, resultados que pueden ser organizados en un listado de datos muy simple como el siguiente:

Muestra Estadística de lanzamientos de dos dados elaborada por EYE IN THE SKY.

Al calcular la Frecuencia Absoluta de la aparición de cada posible puntaje de los dos dados dentro de esta Muestra analizada se obtiene que:

Frecuencia Absoluta de los resultados:

Puntajes que arrojan como

resultado los dos dados:

Número de veces que

se repitió cada puntaje:

2

10

3

18

4

3

5

18

6

9

7

9

8

8

9

7

10

8

11

12

12

8

TOTALES:

110

Esta última tabla indica que el puntaje 3 tuvo una Frecuencia Absoluta de 18 veces, pues en la muestra observada de los 110 lanzamientos de los dados el puntaje 3 se repitió un total de 18 veces, mientras que su Frecuencia Relativa fue sólo de 0,1636, valor resultante de dividir la Frecuencia Absoluta de aparición del puntaje 3 por el total de los resultados que conforman esa muestra estudiada así: Frecuencia Relativa = 18/110 = 0,163636; este último valor obtenido puede ser multiplicado por 100 para expresarlo en términos porcentuales (0,163636×100 = 16,36%), lo que indica que el puntaje 3 resultante de la sumatoria de los puntos de los dos dados apareció un total de 16,36% frente a los demás resultados aparecidos que conforman la muestra. En el caso del puntaje 9, vemos que su frecuencia absoluta de aparición es de 7 veces dentro de la muestra, mientras que su frecuencia relativa solamente es de 0,0637, ya que: Frecuencia Relativa = 9/110 = 0,0637; y al expresar esta frecuencia relativa en términos porcentuales (0,0636×100 = 6,37%), se obtiene que el puntaje 9 resultante de la sumatoria de los puntos de los dos dados sólo se repitió un 6,37% frente a los demás resultados aparecidos que conforman la muestra estudiada.

En la siguiente tabla se observan las Frecuencias Absolutas y las Frecuencias Relativas de los puntajes que aparecieron como resultado dentro de la Muestra de los 110 tiros de los dados:

Puntajes que arrojan como

resultado los dos dados:

Frecuencia Absoluta:

Frecuencia Relativa:

2

10 veces

0,0909

3

18 veces

0,1636

4

3 veces

0,0272

5

18 veces

0,1636

6

9 veces

0,0818

7

9 veces

0,0818

8

8 veces

0,0727

9

7 veces

0,0637

10

8 veces

0,0727

11

12 veces

0,1090

12

8 veces

0,0727

La anterior tabla indica que el juego analizado de los 110 lanzamiento de los dos dados no se ha comportado globalmente dentro de un Estado de Equilibrio Perfecto, pues para que el juego se hubiera comportado dentro de ese estado ideal hubiera sido necesario que cada puntaje aparecido como posible resultado de la sumatoria de los puntos de los dos dados tuviera prácticamente la misma Frecuencia Absoluta y la misma Frecuencia Relativa de los demás puntajes que aparecieron como resultado, lo cual ocurriría si el juego efectivamente tuviera la tendencia hacia la Homogeneidad de los resultados aparecidos, pero esto último no se evidencia de manera alguna en la muestra analizada.

Histograma de la Frecuencia Absoluta en juego de azar.

Como la Frecuencia Absoluta y la Frecuencia Relativa permiten ordenar numéricamente los datos que conforman una Muestra estudiada, entonces a partir de esa ordenación es posible elaborar una representación gráfica que permite visualizar el comportamiento global que tuvieron los resultados analizados. Así, el anterior histograma basado en la Frecuencia Absoluta muestra que dentro de los 110 lanzamientos de los dados los puntajes que más aparecieron fueron el 3, el 5 y el 11, mientras que el puntaje que menos veces ocurrió fue el 4.

La Regularidad Estadística y la Ley de los Grandes Números en los Juegos de Azar:

Los expertos en Estadística y en teoría de la Probabilidad señalan que el valor de la Frecuencia Relativa de un determinado resultado aparecido en un juego de azar nunca permanece constante, ya que el valor de la Frecuencia Relativa de ese resultado evidentemente varía a medida que más y más resultados son incluidos dentro del tamaño total de la Muestra estudiada. Así, si se supone que un juego de azar se está comportando dentro de un ideal Estado de Equilibrio Perfecto, entonces por aplicación de la Ley de los Grandes Números, y debido al principio de que los resultados aparecidos tenderán hacia la Homogeneidad, lo que se observará es que al incluir más y más resultados en el tamaño de la Muestra analizada comenzará a variar indefinidamente el valor de la Frecuencia Relativa de cualquier resultado que conforma la Muestra, hasta estabilizarse alrededor de un valor más o menos constante ubicado entre cero (0) y uno (1).

Por ejemplo, si imaginamos que dentro de un ideal Estado de Equilibrio Perfecto se lanza al aire una moneda primero 1.000 veces, y luego otras 1.000 veces, y así sucesivamente hasta completar un total de 5.000 lanzamientos, muy posiblemente se podrá observar que la cara en cada tanda de 1.000 lanzamientos aparecerá con los siguientes valores en cuanto a su Frecuencia Absoluta y su Frecuencia Relativa:

Número de lanzamientos de la moneda:

Frecuencia Absoluta de la

aparición de la cara:

Frecuencia Relativa de la aparición de la cara sobre los lanzamientos acumulados:

1.000

552

552 / 1.000 = 0,552

1.000

435

552 + 435 / 2.000 = 0,493

1.000

546

552 + 435 + 546 / 3.000 = 0,511

1.000

503

552 + 435 + 546 + 503 / 4.000 = 0,509

1.000

484

552 + 435 + 546 + 503 + 484 / 5.000 = 0,504

Según la Teoría de la Probabilidad, de seguir haciendo lanzamientos de la moneda indefinidamente dentro de ese Estado de Equilibrio Perfecto, se observará que el valor acumulado de la Frecuencia Relativa de la aparición de la cara se irá acercando más y más a un número ubicado entre 0 y 1 que representa exactamente la misma probabilidad a favor existente para que la cara aparezca sobre la cruz en una sola tirada de la moneda. Ya sabemos que para el caso de un solo lanzamiento de la moneda la probabilidad a favor existente para que aparezca la cara sobre la cruz es de: P = 1 evento favorable / 2 eventos posibles = 1/2 = 0,5. Por consiguiente, si dentro de una muestra de gran tamaño de resultados el lanzamiento de la moneda se comporta según un Estado de Equilibrio Perfecto, entonces entre mayor sea el número de lanzamientos que conforman la muestra se observará que la Frecuencia Relativa de la aparición de la cara tenderá a aproximarse más y más al valor de 0,5, tal como se observa en la anterior tabla que recoge las Frecuencias Relativas de la aparición de la cara dentro de los 5.000 lanzamientos de la moneda acumulados en tandas de a 1.000 lanzamientos: 0,552 … 0,493 … 0,511 … 0,509 … 0,504 … hasta aproximarse al valor de 0,5. Este comportamiento se visualiza mejor en la siguiente gráfica que recoge y representa los anteriores valores de esas Frecuencias Relativas:

Frecuencia Relativa con tendencia a la Regularidad Estadística en juego de azar.

En esta gráfica la línea roja representa las oscilaciones de la Frecuencia Relativa correspondientes a la aparición de la cara dentro de los 5.000 lanzamientos de la moneda acumulados en tandas de 1.000 lanzamientos. La línea azul de la gráfica representa el valor de 0,5 que corresponde a la probabilidad existente para la aparición de la cara en un solo lanzamiento de la moneda (P = 1/2 = 0,5). Muy bien se observa que las fluctuaciones de la línea roja (Frecuencia Relativa de la aparición de la cara) se van acercando al valor de la línea azul (Probabilidad de la cara en 1 sólo tiro) hasta prácticamente coincidir con el mismo.

Cuando esto ocurre, se dice que en ese juego la Frecuencia Relativa ha alcanzado un estado de estabilidad que se conoce como Regularidad Estadística, lo cual significa malas noticias para el jugador profesional, pues si esa Regularidad Estadística ocurre en un juego de azar real, entonces casi siempre indica que en el comportamiento global de ese juego no hay grandes oscilaciones, fluctuaciones, desviaciones o repeticiones periódicas de un determinado resultado sobre los demás, lo cual reduce bastante las opciones de hallar tendencias que se puedan explotar racionalmente con miras a obtener unas ganancias seguras mediante las apuestas realizadas a favor de la mayor aparición de un resultado sobre los demás. En el caso antes analizado si el valor de la Frecuencia Relativa de la aparición de la cara llega a coincidir cada vez más con el valor 0,5, entonces eso significa que el comportamiento aleatorio global de ese juego existen casi las mismas probabilidades para que aparezcan tanto la cara como la cruz, sin que un mayor número de lanzamientos de la moneda revele la aparición de una clara tendencia que indique que uno de los dos lados de la moneda tiene más probabilidades de aparecer que el otro.    

En cambio, cuando el juego a través de numerosas jugadas se comporta por fuera del ideal Estado de Equilibrio Perfecto, entonces la Frecuencia Relativa de cualquier resultado posible de ese juego tenderá a alejarse del valor ubicado entre 0 y 1 que corresponde a la misma probabilidad existente para que ese resultado aparezca en una sola tirada, es decir, los resultado del juego no tenderán a alcanzar una Regularidad Estadística. Por ejemplo, si se hacen los 5.000 lanzamientos de la moneda por fuera del Estado de Equilibrio Perfecto (por causas desconocidas que afectan su comportamiento aleatorio global), quizá se observe que la cara puede aparecer con la siguiente Frecuencia Absoluta y Frecuencia Relativa:

Número de lanzamientos de la moneda:

Frecuencia Absoluta de la

aparición de la cara:

Frecuencia Relativa de la aparición de la cara

sobre los lanzamientos acumulados:

1.000

521

521 / 1.000 = 0,521

1.000

567

521 + 567 / 2.000 = 0,544

1.000

635

521 + 567 + 635 / 3.000 = 0,574

1.000

702

521 + 567 + 635 + 702 / 4.000 = 0,606

1.000

711

521 + 567 + 635 + 702 + 711 / 5.000 = 0,627

¡Qué diferencia! En 5.000 lanzamientos acumulados de la moneda se observa que la Frecuencia Relativa de la aparición de la cara en tandas de a 1.000 lanzamientos (0,521 … 0,544 … 0,574 … 0,606 … 0,627 … etc.) se aleja paulatinamente del valor 0,5 a medida que más lanzamientos se realizan, lo cual se visualiza mejor en las siguiente gráfica:

Frecuencia Relativa con tendencia a una desviacion en juego de azar.

Es decir, en este caso la Frecuencia Relativa se aleja del valor ubicado entre 0 y 1 que corresponde exactamente a la probabilidad existente para que la cara aparezca sobre la cruz en una sola tirada (se aleja de 0,5). Esto generalmente equivale a buenas noticias para el jugador, porque significa que a lo largo de los distintos lanzamientos ocurridos en ese juego existe alguna desconocida influencia físico−mecánica que introduce el desequilibrio, la oscilación y la inestabilidad en el accionar aleatorio del juego, ocasionando que al ser lanzada la moneda la cara tienda a aparecer con más frecuencia que la cruz, y esa tendencia descubierta puede ser explotada racionalmente por el jugador si existe la fuerte convicción de que el comportamiento es significativo y perdurará durante los siguientes 1.000 lanzamientos de la moneda.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

FREUND, John, y otros. Estadística matemática con aplicaciones. Prentice Hall, 1987.

GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.

HINKELMANN, Klaus, y KEMPTHOME, Oscar. Design and analysis of experiments. Wiley, New York, 2008.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Descriptive Statistics; Frequency Probability; Frequency (Statistics); Law of Large Numbers; Probability Theory; Statistical Regularity; Statistical Test; Statistical Theory. 

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