EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN JUEGOS DE AZAR.

Tendencias, Desviaciones y Repeticiones Significativas en Juegos de Azar:

Los Tests Estadísticos creados desde los tiempos de Maurice Kendall y Bernard Babington Smith, el cálculo de la Frecuencia Relativa, las Distribuciones de Probabilidad, el valor de la Esperanza Matemática, la Varianza, etc., son todas herramientas matemáticas que permiten imaginar un modelo de comportamiento ideal para los resultados que arrojan los juegos de azar y los fenómenos aleatorios, y a partir de esos modelos ideales o teóricos se puede establecer mediante la comparación y el contraste qué ocurre con el comportamiento observado en juegos de azar o fenómenos aleatorios que verdaderamente transcurren en el mundo real y que casi siempre escapan al ideal Estado de Equilibrio Perfecto. Una vez que se realiza esta labor de comparación, muy seguramente se pueden descubrir indicios de posibles tendencias, desviaciones o repeticiones periódicas que ocurren en el comportamiento global de un juego de azar que transcurre en el mundo real, y como lo he reiterado a lo largo de esta obra, únicamente si existe la «convicción suficiente» de que esas tendencias perdurarán en el comportamiento futuro del juego, entonces vale la pena proceder a diseñar estrategias de apuestas orientadas a explotar económicamente esos hallazgos en las futuras jugadas del juego.

El gran interrogante que surge en este punto es el siguiente: ¿Cómo saber que una tendencia, que una desviación o que una repetición hallada en un juego de azar que transcurre en el mundo real es suficientemente significativa o relevante como para ayudar a soportar la convicción de que su influencia perdurará en el comportamiento futuro del juego? En otras palabras, una vez que ha sido realizada toda la labor de muestreo o de recolección de los resultados arrojados por un juego de azar, una vez que esas muestras de resultados han sido analizadas mediante los Tests Estadísticos, y una vez que mediante el cálculo de probabilidades se ha concluido que existen tendencias que influyen en el comportamiento global de ese juego, entonces a continuación todo jugador desea saber de qué manera puede probar que esas tendencias halladas son verdaderamente relevantes y no un insignificante producto de un transitorio estado de desequilibrio que casualmente afectó el comportamiento aleatorio normal del juego.

Para responder al anterior interrogante, los matemáticos y los expertos en estadística han propuesto diferentes funciones que sirven para medir la relevancia de cualquier tendencia hallada en la aparición de los resultados de un juego de azar, y la utilización de esas funciones matemáticas o estadísticas contribuye a fortalecer en el jugador la «convicción» de que tales tendencias son significativas y que posiblemente seguirán influyendo en el comportamiento futuro de ese juego. Entre las muchas funciones matemáticas o estadísticas que pueden ser usadas para este propósito, cabe mencionar la Desviación Estándar, el Coeficiente de Asimetría, el cálculo del Intervalo de Confianza, el Test Chi Cuadrado, el Coeficiente de Contingencia, el cálculo de los Grados de Libertad o los Niveles de Significación, etc. En principio, la mayoría de estas funciones se fundamentan en la premisa de que todo modelo matemático creado sobre el comportamiento de un juego de azar presupone que el Estado de Equilibrio Perfecto permanece «estable» a lo largo de las infinitas jugadas que ocurren en el abstracto universo de las matemáticas, pero debido a que en estos ideales juegos de azar la Variabilidad opera introduciendo infinitas combinaciones en la manera como pueden aparecer los resultados del juego que acrecientan cada vez más el tamaño de ese universo, entonces es necesario reconocer que en estos ideales juegos de azar es normal que por momentos se presenten grandes fluctuaciones en la aparición de los resultados, las cuales a primera vista parecería que abruptamente desplazan el comportamiento del juego sacándolo de su situación ideal de Equilibrio Perfecto, pero debido a que en ese universo abstracto también rige la Homogeneidad en la aparición de los resultados y también rige la anulación de cualquier posible repetición periódica de los resultados, entonces siempre el comportamiento del juego permanece estable porque a largo plazo termina regresando de manera espontánea a la situación ideal de Equilibrio Perfecto.

En consecuencia, dado que en los modelos ideales o abstractos del comportamiento de los juegos de azar es normal que la aparición de los resultados suceda atravesando por periodos de grandes fluctuaciones entre el equilibrio y el desequilibrio, entonces el gran interrogante que surge es cómo identificar de manera confiable los «límites normales» dentro de los cuales deben ocurrir esas fluctuaciones de la Variabilidad permitiendo aún la estabilidad del juego, y luego, al tomar esos límites como un referente ideal, también debe ser posible esclarecer qué ocurre con las fluctuaciones de la Variabilidad cuando se llega a un punto de no retorno a partir del cual el comportamiento del juego se vuelve definitivamente inestable escapando a la situación ideal de Equilibrio Perfecto (lo que equivale a que el juego pierde parte de su impredecibilidad). Las funciones matemáticas o estadísticas que acabamos de mencionar pueden usarse para encontrar esos límites ideales que rigen las fluctuaciones de la Variabilidad en el comportamiento de un juego de azar, y cuando esos límites ideales son excedidos por las tendencias, las desviaciones o las repeticiones periódicas halladas en un juego de azar que transcurre en el mundo real, entonces válidamente se puede concluir que esos hallazgos son relevantes o significativos.

Qué es y Cómo se calcula la Desviación Estándar:

La Desviación Estándar o Desviación Típica, que se representa mediante la letra griega minúscula sigma (σ), es una función matemática que sirve para calcular los límites normales dentro de los cuales se concentra el mayor porcentaje de las fluctuaciones o dispersiones que pueden ocurrir en la aparición de los resultados aleatorios de un juego de azar. En efecto, la Desviación Estándar es una medida de Dispersión de los resultados que arroja un juego de azar respecto de su Promedio (o Media Poblacional), ya que para describir de manera completa el comportamiento probabilista de un juego de azar no basta con conocer los valores exactos de la Tendencia Central que rige la aparición de sus resultados (como el Promedio, la Mediana o la Moda), sino que además es necesario conocer los límites de la desviación de los resultados aparecidos respecto de su Tendencia Central. Cuando se usa la Desviación Estándar para calcular la extensión de esos límites, entonces realmente se está estableciendo una medida de la incertidumbre que existe en cuanto a cuál es la probable extensión de las máximas fluctuaciones que pueden ocurrir en la aparición de los resultados del juego.

El Modelo de la Desviación Estándar en Probabilidad.

Para calcular la Desviación Estándar (σ) respecto de una serie de resultados que pueden ser asumidos por la variable X, basta extraerle la raíz cuadrada () a la Varianza (σ2) de esos resultados, lo cual se denota mediante fórmulas matemáticas como las siguientes:

Según la lógica de estas fórmulas, en primer lugar se debe calcular la Varianza de un conjunto de resultados aleatorios, y luego al guarismo obtenido se le extrae la raíz cuadrada para así obtener la Desviación Estándar. Es por ese motivo que se afirma que mientras la Varianza es una medida de la dispersión de los resultados que conforman un conjunto respecto de la Media Poblacional del mismo conjunto, pero «medida en unidades al cuadrado», en cambio la Desviación Estándar es la medida de esos mismos límites de la dispersión pero calculados en unidades equivalentes a los términos sometidos a análisis (lo cual precisamente se logra al extraerle la raíz cuadrada a la Varianza). El resultado que se obtiene al calcular la Desviación Estándar siempre está antecedido por el signo más−menos (±), que se usa para indicar que el resultado obtenido delimita un intervalo de desviación cuyos límites se extienden por encima y por debajo del valor de la Media Poblacional del conjunto de resultados analizados.

Ejemplo del Cálculo de la Desviación Estándar con base en ideas de Chebyshev:

El gran genio matemático Johann Karl Friedrich Gauss (1777−1855) a comienzos del siglo XIX estudió la Desviación Estándar (Método de los Mínimos Cuadrados) como si fuera un patrón de medición de la Dispersión asociado a la forma de la línea curva característica de la Distribución Normal que fue descubierta por Abraham de Moivre (1667−1754), y más tarde hacia 1870 el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821−1894) ya elaboraba toda la axiomatización de la Desviación Estándar aplicada al campo del cálculo de probabilidades. Pero en esa época el cálculo de la Desviación Estándar era usado principalmente en procesos industriales para aclarar aspectos tales como la calidad de un producto, la resistencia de una herramienta, el desgaste que puede soportar un mecanismo, la elasticidad máxima de un resorte, la fecha límite a partir de la cual un alimento procesado ya no es comestible, la durabilidad de una materia prima, etc.

Por ejemplo, Chebyshev tenía en mente al dueño de una siderúrgica que producía cadenas de acero y que deseaba conocer cuánto peso total podían soportar las mismas. Aunque parezca increíble, este dato técnico referente a un proceso industrial nunca es único ni absoluto ni constante, ya que como lo dijo en su momento Nikola Tesla: «¡Las ciencias exactas nunca son verdaderas ciencias exactas!», y por lo tanto hay que suponer que aún dentro de un proceso siderúrgico altamente tecnificado intervienen pequeños factores incontrolables o desconocidos que finalmente afectan la estructura material de las cadenas de acero y alteran su resistencia: verbigracia, se presentan fluctuaciones inesperadas en la temperatura a la que es fundido el hierro, ocurren alteraciones en la inyección de aire durante el proceso de descarburación, hay variaciones en la temperatura de enfriamiento del acero luego de su fundición, influyen pequeñas diferencias en las fuerzas que son ejercidas para forjar cada eslabón de las cadenas, etc. Todas estas posibles influencias incontrolables pueden afectar la calidad final del acero producido y por tanto introducen «grados de incertidumbre» respecto a cuál es la verdadera resistencia de todas las cadenas de acero que son producidas mediante ese mismo proceso siderúrgico, pero aún así el empresario está obligado a garantizarle a sus clientes que sus cadenas de acero están diseñadas para soportar un determinado peso máximo.

Ejemplo de cálculo de Desviación Estándar según Chevyshev.

Como se observa en la imagen, para esclarecer este problema el empresario toma 10 cadenas de acero producidas en su fábrica y a cada una le suspende una masa cuyo peso va incrementando paulatinamente, hasta que llega un momento en que cada cadena se revienta al no poder soportar la acumulación de más peso. Como resultado de esta prueba el empresario obtiene los siguientes pesos máximos que fueron soportados por las 10 cadenas antes de reventar: 184 Kg., 180 Kg., 177 Kg., 173 Kg., 182 Kg., 179 Kg., 181 Kg., 186 Kg., 180 Kg. y 178 Kg. El Promedio o Media Aritmética de todos esos valores es 180 Kg., pero bien vemos que no todas las cadenas se quebraron al sostener precisamente ese peso promedio, pues algunas soportaron mucho más peso y otras se reventaron mucho antes de soportar los 180 Kg. Para intentar medir los límites máximos de esas fluctuaciones incontrolables e impredecibles, el empresario procede a calcular la Varianza de los resultados obtenidos, lo que arroja un valor de 12, y luego para obtener la Desviación Estándar simplemente extrae la raíz cuadrada de 12, que equivale a 3,4641.

Según el matemático Chebyshev, este último valor obtenido indica que la Desviación Estándar de la resistencia de las cadenas de acero es: σ = 180±3,4641. Lo anterior significa que en este caso la Desviación Estándar define un intervalo bien delimitado dentro del cual se concentra la mayor cantidad de los posibles valores observados de la resistencia de las cadenas de acero. Efectivamente, los límites de ese intervalo están dados entre los dos valores que se obtienen cuando a la Media Aritmética se le resta el valor de la Desviación Estándar (180−3,4641 = 176,53 Kg.) y cuando a la Media Aritmética se le suma el valor de la Desviación Estándar (180+3,4641 = 183,46 Kg.), es decir, el intervalo de las fluctuaciones observadas en la resistencia de las cadenas abarca todos los pesos posibles que pueden soportar las cadenas ubicados entre los valores 176,53 Kg. a 183,46 Kg., o lo que es lo mismo, ese intervalo de valores delimitado por la Desviación Estándar tiene un tamaño de 6,93 Kg. distribuido en torno de la Media Aritmética (resultante de restar: 183,46−176,53 = 6,93).

Claramente se observa que dentro de ese intervalo de pesos (176,53 Kg. a 183,46 Kg.) quedaron comprendidos 7 de los 10 valores de los pesos máximos que soportaron las cadenas durante la prueba (180 Kg., 177 Kg., 182 Kg., 179 Kg., 181 Kg., 180 Kg. y 178 Kg.), es decir, el 70% de los valores correspondientes a las fluctuaciones observadas en la resistencia de las cadenas quedaron comprendidos dentro del intervalo delimitado por la Desviación Estándar, y por lo tanto se puede concluir que las cadenas analizadas que fueron producidas en la siderúrgica del empresario en promedio pueden soportar hasta 180 Kg. de peso, pero que existe un 70% de probabilidades de que se revienten cuando soportan pesos ubicados entre 176,53 Kg. y 183,46 Kg. según el límite de la Desviación Estándar.

Ejemplo de cálculo de Desviación Estándar según Chevyshev.

Ahora bien, como se observa en la imagen superior, al día siguiente la siderúrgica produce más cadenas de acero, y entonces el empresario nuevamente se enfrenta al mismo problema de la presencia de los factores desconocidos o incontrolables que pueden influir en ese proceso de producción y que introducen «incertidumbre» en cuanto a la verdadera calidad y resistencia de esas cadenas. Supongamos entonces que para curarse en salud el empresario vuelve a realizar la anterior prueba, toma 10 cadenas de acero producidas ese día y les suspende pesos que aumenta gradualmente para medir su resistencia, y así obtiene como resultado que esas cadenas se reventaron cuando llegaron a soportar los siguientes pesos: 189 Kg., 185 Kg., 177 Kg., 178 Kg., 179 Kg., 180 Kg., 178 Kg., 180 Kg., 181 Kg. y 179 Kg. La Media Aritmética de todos esos valores es de 180,6 Kg. y su Varianza es de 12,24. Al extraer la raíz cuadrada de esta Varianza (12,24) para calcular la Desviación Estándar, se obtiene como resultado 3,4985, es decir, el valor de la Desviación Estándar de la resistencia de esas cadenas es: 180,6±3,4985.

De este modo se obtiene un intervalo que está delimitado por el valor correspondiente a la Medía Aritmética menos la Desviación Estándar (180,6−3,4985 = 177,10 Kg.) y por el valor correspondiente a la Media Aritmética más la Desviación Estándar (180,6+3,4985 = 184,09 Kg.), intervalo que tiene un tamaño total de 6,99 kilogramos en torno de la Media Aritmética (184,09−177,10 = 6,99). Igualmente, se observa que dentro de ese intervalo de pesos (177,10 Kg. a 184,09 Kg.) quedaron comprendidos 7 de los 10 pesos máximos que soportaron las cadenas en esta prueba (178 Kg., 179 Kg., 180 Kg., 178 Kg., 180 Kg., 181 Kg. y 179 Kg.), es decir, nuevamente el 70% de los valores de las fluctuaciones de la resistencia de las cadenas quedaron incluidos dentro del intervalo delimitado por la Desviación Estándar.

Claramente se observa que en la primera prueba realizada se obtuvo una desviación estándar de 3,4641 y un intervalo con un tamaño de 6,93 Kg. en torno de la Media, mientras que en la segunda prueba se obtuvo una Desviación Estándar de 3,4985 y un intervalo con un tamaño de 6,99 Kg. en torno de la Media, es decir, realmente no hay grandes diferencias entre estos valores referentes a la Desviación Estándar obtenidos en las dos pruebas, y por lo tanto, teniendo en cuenta que todas las cadenas de acero proceden del mismo proceso siderúrgico, se puede concluir que en este caso se mantiene muy constante la influencia de las desconocidas causas que afectan ese proceso siderúrgico y que introducen incertidumbre en cuanto a la verdadera resistencia de las cadenas.

En síntesis, considerando que resulta descabellado reventar todas las cadenas producidas por esa siderúrgica para comprobar cuál es su verdadera resistencia final, entonces el empresario se conforma con «pronosticar» a sus clientes que un 70% de las cadenas de acero producidas en su fábrica se revientan cuando soportan pesos que respecto de la Media Aritmética (180 ó 181 Kg.) tienen una Desviación Estándar de ±3,5 aproximadamente. Y por supuesto, para tener la tranquilidad de que ese valor de incertidumbre se mantiene constante a través del tiempo, entonces es conveniente que periódicamente y en días distintos el empresario realice la misma prueba tomando diferentes muestras de cadenas producidas en su fábrica, pues así descarta la posibilidad de que eventualmente ese valor de desviación aumente o disminuya por causa de otros desconocidos factores que repentinamente pueden sumarse e influir sobre ese proceso siderúrgico alterando la resistencia final de las cadenas de acero fabricadas.

Uso de Excel en el cálculo de la Desviación Estándar y Representación Gráfica:

El lector tiene dos caminos para calcular la Desviación Estándar de varios valores como los propuestos en el ejemplo de la resistencia de las cadenas de acero. Así, usando la hoja de cálculo Excel de Microsoft el lector puede calcular la Varianza de todos esos valores (mediante la función «VARP» que ya comentada en otra sección de esta obra), y a continuación puede extraerle la raíz cuadrada al resultado obtenido, ya sea usando la calculadora de Windows, cualquier otra calculadora o la función «RAIZ» de la hoja de cálculo Excel (que se ubica en la categoría de las funciones «Matemáticas y Trigonométricas»).

Uso de Excel para calcular Desviación Estándar.

Como se observa en la anterior gráfica, el lector también puede anotar todos los valores del ejemplo en una sola columna de la hoja de cálculo Excel, luego debe posicionar el cursor en la celda A11 que esta vacía, y luego elegir la opción de insertar la función «DESVESTP» (en la categoría de las funciones «Estadísticas»), la cual calcula directamente la Desviación Estándar de los valores incluidos en esa columna.

Representación gráfica de la Desviación Estándar.

La mejor manera de comprender un concepto matemático es mediante su representación gráfica. En la anterior imagen, correspondiente a un gráfico cartesiano, se contrapone el número de cadenas de acero probadas frente a la resistencia lograda, la línea de color rojo representa la media aritmética (180 Kg.) de los 10 valores del máximo peso que soportaron las cadenas de acero durante la primera prueba que realizó el empresario (184 Kg., 180 Kg., 177 Kg., 173 Kg., 182 Kg., 179 Kg., 181 Kg., 186 Kg., 180 Kg. y 178 Kg.). En este caso la Desviación Estándar tuvo un valor de: σ = 180±3,4641; y por eso en la gráfica el área sombreada de color amarillo ubicada entre los valores 176,53 Kg. a 183,46 Kg. representa el intervalo de valores que abarca la Desviación Estándar al extenderse por encima y por debajo de la Media Aritmética (es decir, abarca la Desviación Estándar «por exceso» y «por defecto» en torno de la Media). Mediante los diamantes de color azul claramente se observa que dentro de esa área amarilla quedaron comprendidos 7 de los 10 valores de resistencia de las cadenas obtenidos en la primera prueba (180 Kg., 177 Kg., 182 Kg., 179 Kg., 181 Kg., 180 Kg. y 178 Kg.), es decir, el 70% de las fluctuaciones en la resistencia de las cadenas ocurrieron dentro del intervalo delimitado por la extensión del valor de la Desviación Estándar.

Representación gráfica de la Desviación Estándar.

En este otro gráfico cartesiano la línea de color rojo representa la Media Aritmética (180,6) de los 10 valores de peso que soportaron las cadenas de acero durante la segunda prueba que realizó el empresario (189 Kg., 185 Kg., 177 Kg., 178 Kg., 179 Kg., 180 Kg., 178 Kg., 180 Kg., 181 Kg. y 179 Kg.). En esta segunda prueba también hubo notorias fluctuaciones en los valores correspondientes a la resistencia de las cadenas y al valor de su Media Aritmética, pero aún así la Desviación Estándar sólo tuvo un valor de ±3,4985 respecto de la Media, es decir, se trata de un valor que no está muy alejado de la Desviación Estándar obtenida en la primera prueba (±3,4641). Por ese motivo en esta segunda prueba el área sombreada de color amarillo ubicada entre el valor 177,10 Kg. a 184,09 Kg. tiene un tamaño casi igual al del área amarilla de la primera prueba de las cadenas. Igualmente, se observa que dentro de esta área amarilla quedaron comprendidos 7 de los 10 valores de resistencia de las cadenas obtenidos durante la segunda prueba (178 Kg., 179 Kg., 180 Kg., 178 Kg., 180 Kg., 181 Kg. y 179 Kg.), es decir, también el 70% de las fluctuaciones en la resistencia de las cadenas ocurrieron dentro del intervalo delimitado por el valor de la Desviación Estándar.

Comprendiendo las Fluctuaciones del Intervalo de la Desviación Estándar:

En su época Chebyshev analizó las diversas propiedades matemáticas de la Desviación Estándar, y así concluyó que entre más cercano a cero (0) sea el valor de la Desviación Estándar, eso indica que los valores numéricos del grupo de datos analizados fluctúan dentro de un intervalo muy pequeño y son muy cercanos al valor de la Media Aritmética. Mientras que si el valor de la Desviación Estándar es muy grande o se aleja cada vez más de cero (0), eso equivale a que los valores numéricos del grupo de datos analizados fluctúan dentro de un intervalo muy grande y se alejan bastante del valor de la Media Aritmética de ese grupo de datos.

Por ejemplo, supongamos que un primer soldado artillero es sometido a prueba para medir cuál es su puntería al usar un cañón para atinarle exactamente a un blanco ubicado a 300 metros de distancia, y después de realizar 10 tiros se comprobó que el proyectil cayó a las siguientes distancias medidas en metros desde el punto de lanzamiento: 302, 297, 298, 301, 299, 300, 299, 301, 302 y 301. Un segundo soldado es sometido a la misma prueba, y en 10 tiros del cañón el proyectil cayó a las siguientes distancias medidas en metros desde el punto de lanzamiento: 300, 303, 301, 297, 302, 298, 298, 301, 297 y 303. Y finalmente, un tercer soldado es sometido a la misma prueba y obtuvo las siguientes distancias del proyectil desde el punto de lanzamiento: 301, 299, 301, 299, 302, 299, 299, 300, 301 y 299. Si en medio de una batalla el capitán tiene que encomendarle el cañón al soldado que menos fluctuaciones presenta en su puntería para atinarle a un blanco ubicado a 300 metros de distancia, entonces cabe preguntar: ¿A cuál de los 3 soldados debería escoger el capitán para realizar esa misión?

El asunto se resuelve matemáticamente calculando la Desviación Estándar, ya que se observa que los 10 lanzamientos del proyectil realizados por los tres soldados tienen la misma Media Aritmética (300 metros), pero al calcular la Desviación Estándar de las distancias de esos lanzamientos se observa que el primer soldado obtuvo un valor de 300±1,6124, el segundo soldado obtuvo un valor de 300±2,2360 y el tercer soldado obtuvo un valor de 300±1,0954. Es decir, indudablemente el tercer soldado es el más apto y el más confiable para realizar la misión, pues su puntería usando el cañón presenta un menor rango de fluctuaciones que la puntería de los otros dos soldados, lo cual se evidencia porque la Desviación Estándar de la puntería de ese soldado es la más próxima a cero (0), y eso indica que dentro de un determinado número de lanzamientos realizados por ese soldado se observará que el proyectil por defecto o por exceso se aleja muy poca distancia de la Media equivalente a 300 metros. Por supuesto, si el capitán logra encontrar en el pelotón a un soldado que para los 10 lanzamientos del proyectil obtenga una Desviación Estándar de cero (0), eso equivale a que se trata de un soldado infalible que siempre acierta en el blanco ubicado a 300 metros de distancia.

No. de tiros con el cañón:

Distancias en metros alcanzadas en la prueba por cada soldado:

Primer soldado:

Segundo soldado:

Tercer soldado:

Soldado ideal:

No. 1

302

300

301

300

No. 2

297

303

299

300

No. 3

298

301

301

300

No. 4

301

297

299

300

No. 5

299

302

302

300

No. 6

300

298

299

300

No. 7

299

298

299

300

No. 8

301

301

300

300

No. 9

302

297

301

300

No. 10

301

303

299

300

MEDIA:

300

300

300

300

DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

300 ± 1,6124

300 ± 2,2360

300 ± 1,0954

300 ± 0

En la anterior tabla se registraron los valores de las distancias del proyectil que fueron logradas por cada soldado al usar el cañón según el ejemplo comentado, y también se registró el valor de la Media Aritmética y de la Desviación Estándar respectiva, incluyendo incluso en una columna los valores respectivos para un hipotético soldado ideal que tiene puntería perfecta.

Fluctuaciones de la Desviación Estándar.

Fluctuaciones de la Desviación Estándar.

Fluctuaciones de la Desviación Estándar.

Fluctuaciones de la Desviación Estándar.

En las anteriores gráficas la línea roja ubicada dentro del espacio de las coordenadas representa la Media aritmética de las distancias que cada soldado alcanzó al realizar sus 10 lanzamientos del proyectil, la cual en todos los casos coincidió en 300 metros de distancia. La franja sombreada de color amarillo representa el intervalo delimitado por el valor de la respectiva Desviación Estándar al extenderse sobre y por debajo de la Media Aritmética. Según estas gráficas, al observar los rombos azules que quedaron ubicados dentro de la franja amarilla, se concluye que el primer soldado usando varias veces el cañón tiene un 60% de probabilidades de lograr que el proyectil caiga dentro de una zona de ±1,61 metros en torno de un blanco ubicado a 300 metros de distancia, el segundo soldado usando varias veces el cañón tiene un 60% de probabilidades de lograr que el proyectil caiga dentro de una zona de ±2,23 metros en torno de un blanco ubicado a 300 metros de distancia, y el tercer soldado en varios tiros tiene un 90% de probabilidades de lograr que el proyectil caiga dentro de una zona de ±1,09 metros en torno de un blanco ubicado a 300 metros de distancia. Indudablemente el tercer soldado es el más confiable para manejar el cañón, pues las fluctuaciones de su puntería en cada tiro no son muy grandes y son más regulares o menos «imprevisibles» porque siempre comprenden distancias muy mínimas en torno del blanco. Por supuesto, el soldado ideal que tenga una puntería infalible, siempre obtendrá una desviación estándar que vale ±0, y eso indica que en varios lanzamientos del cañón tiene 100% de probabilidades de atinarle siempre a un blanco ubicado a 300 metros de distancia.

Lo explicado hasta el momento es suficiente para que el lector intuya de qué manera puede aplicar el cálculo de la Desviación Estándar a un conjunto de resultados producidos por cualquier juego de azar con el propósito de medir los límites de las fluctuaciones de esos resultados, aspecto que se analiza a fondo en las siguientes secciones de esta obra.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística.  P.P.U., Barcelona, 1990.

FREUND, John, y otros. Estadística matemática con aplicaciones. Prentice Hall, 1987.

GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.

HINKELMANN, Klaus, y KEMPTHOME, Oscar. Design and analysis of experiments. Wiley, New York, 2008.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Descriptive Statistics; Mean; Normal Distribution; Probability Theory; Standard Deviation; Statistical Theory; Variance.  

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